高中数学例题：函数解析式的求法
例. 求函数的解析式
(1)已知f(x)是二次函数，且f(0)?2,f(x?1)?f(x)?x?1，求f(x)； (2)若f(2x-1)=x2，求f(x)； （3）已知3f(x)?2f(?x)?x?3，求f(x). 【答案】（1）f(x)?1x2?3x?2；（2）f(x)?(22x?12（3）f(x)?x?3． )；
52【解析】求函数的表达式可由两种途径. (1)设f(x)?ax2?bx?c(a?0)，由f(0)?2,得c?2
由f(x?1)?f(x)?x?1，得恒等式2ax+a+b=x-1,得a?1,b??3，故所求
22函数的解析式为f(x)?1x2?3x?2.
22(2) ∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则x??f(t)?(t?12x?12),?f(x)?() 22t?1 2（3）因为3f(x)?2f(?x)?x?3，①
x用?x代替得3f(?x)?2f(x)??x?3，②
由①②消去f(?x)，得f(x)?x?3.
5【总结升华】（1）解析式类型已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式y?ax2?bx?c，顶点式
y?a(x?h)2?k和两点式y?a(x?x1)(x?x2)的选择.
（2）已知f[g(x)]求f(x)的问题，方法一是用配凑法；方法二是用换元法，如本例（2）.
（3）函数方程问题，需建立关于f(x)的方程组，如本例（3），若函数方程中同时出现f(x)、f(1)，则一般x用1代之，构造另一个方程.
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举一反三：
【变式1】 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)． 【答案】f(x)=x2+2x-1．
【解析】(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1 ∴f(x)=x2+2x-1；
(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1 ∴f(x)=x2+2x-1； (法3)设f(x)=ax2+bx+c则 f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c ∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2
?a?1?a?1????2a?b?4??b?2?a?b?c?2?c??1???f(x)?x2?2x?1；
【总结升华】求函数解析式常用方法：
(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.
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