高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2.14 超越方程反解难巧妙构造变简单
【题型综述】
导数研究超越方程
超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．
在探求诸如x?6x?9x?10?0，x?2lnx?x?2x?2方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．
此类题的一般解题步骤是： 1、构造函数，并求其定义域． 2、求导数，得单调区间和极值点． 3、画出函数草图．
4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况求解．
【典例指引】
例1．已知函数f?x??ax?xlnx在x?e处取得极小值．
?2322（1）求实数a的值；
（2）设F?x??x??x?2?lnx?f?x?，其导函数为F??x?，若F?x?的图象交x轴于两点
2C?x1,0?,D?x2,0?且x1?x2，设线段CD的中点为N?s,0?，试问s是否为F??x??0的根？说明理由．
【思路引导】
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（1）先求导数，再根据f?ex?x???0，解得a?1，最后列表验证（2）即研究F????2?212???0是否成立，?因为F??4?x1?x2??x?x??1，利用x12?2lnx1?x1?0，x22?2lnx2?x2?0得?12x1?x2?2?x1?x2?2?lnx1?lnx2?2?t?1?4?x?x2?2?lnx1?lnx2??1，??所以F??1=0，转化为其lnt??0．?x1?x2?2?x1?x2x1?x2t?1中t?x12?t?1?x，最后利用导数研究函数u?t??lnt?2t?1单调性，确定方程解的情况
（2）由（1）知函数F?x??x2?2lnx?x．
∵函数F?x?图象与x轴交于两个不同的点C?x1,0?,D?x2,0?，（ x1?x2），
∴x21?2lnx1?x1?0，x22?2lnx2?x2?0．
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两式相减得x1?x2?2?lnx1?lnx2?x1?x2?1 F??x??2x?2?1． x2?lnx1?lnx2?44?x1?x2??F??x?x??1?? ． ?122x?xx?xx?x??121212下解2?lnx1?lnx2?x1?x2x12?x1?x2?4??0．即ln??0． x1?x2x2x1?x2令t?2?t?1?x1，∵0?x1?x2，∴0?t?1，即lnt??0．
t?1x22?t?1?2?t?1?． 14令u?t??lnt?，u??t????t?t?1?2t?t?1?2t?1又0?t?1，∴u??t??0，
∴u?t?在?0,1?上是増函数，则u?t??u?1??0，
2?lnx1?lnx2?4?x?x???0，故F??12??0，即F??s??0不成立． 从而知?x1?x2x1?x2?2?故s不是F??x??0的根．
例2．设函数f?x??lnx?12ax?bx 2（1）当a?3,b?2时，求函数f?x?的单调区间；
（2）令F?x??f?x??12a1ax?bx?(0?x?3)，其图象上任意一点P?x0,y0?处切线的斜率k?恒成2x2立，求实数a的取值范围．
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高考数学压轴---专题23 超越方程反解
