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教学准备
1. 教学目标
知识与技能
掌握双曲线的定义，掌握双曲线的四种标准方程形式及其对应的焦点、准线． 过程与方法
掌握对双曲线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法．通过本节课的学习，提高学生观察、类比、分析和概括的能力．
情感、态度与价值观
通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想．
2. 教学重点/难点
教学重点
双曲线的定义及焦点及双曲线标准方程． 教学难点
在推导双曲线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系．
3. 教学用具
多媒体
4. 标签 教学过程
教学过程设计
新知探究
探究点一 双曲线的定义 【问题导思】
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1．取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？
【提示】 如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．
2．双曲线定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ 【提示】 双曲线的一支．
3．双曲线定义中，为什么要限制常数2a＜|F1F2|?
【提示】 只有当2a＜|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，满足条件的点不存在．
4 . 已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？
【提示】(1)∵表示点P(x，y)到两定点F1(－
5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线． (2)∵
表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)、F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线的右支．
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探究点二 双曲线的标准方程 【问题导思】
1．能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程？怎样推导？ 【提示】 能．
(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系． (2)设点：设M(x，y)是双曲线上任一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为
2．双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？
【提示】 双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴：当x2系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关． 双曲线的标准方程
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【典例精讲】
命题方向一 双曲线标准方程的理解
例1.方程
①曲线C不可能是圆；
表示的曲线为C，给出下列四个命题
②若1＜k＜4，则曲线C为椭圆； ③若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4； ④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则其中正确命题的序号是________． 【解析】 当4－k＝k－1＝0时，即题．对于②，当1＜k＜4且
时，曲线C是圆，∴命题①是假命
时，曲线C是椭圆，则②是假命题．
根据双曲线和椭圆定义及其标准方程，③④是真命题． 【答案】 ③④ 【小结】
1．双曲线焦点在x轴上?标准方程中x2项的系数为正；双曲线焦点在y轴上?标准方程中y2项的系数为正．
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2．在曲线方程
中，若m＝n＞0，则曲线表示一个圆；若m＞0，n＞0，
且m≠n，则曲线表示一个椭圆；若mn＜0，则曲线表示双曲线． 【变式训练】若k∈R，则“k＞3”是“方程( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条
件 D．既不充分也不必要条件
表示双曲线”的
【解析】方程表示双曲线的充要条件是(k－3)(k＋3)＞0，即k
＜－3或k＞3；当k＞3时，一定有(k－3)(k＋3)＞0，但反之不成立．∴k＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件． 【答案】A
命题方向二 求双曲线的标准方程 例2.
(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点线的标准方程； (2)求与双曲线解析：
有公共焦点，且过点
的双曲线方程．
求双曲
(1)由已知可设所求双曲线方程为解得∴双曲线的方程为
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高教版中职数学拓展模块2.2双曲线
