2021新高考版数学一轮习题：专题9+阶段滚动检测(六)Word版含解析

2

(2)证明 先证x－sin x＋cos x－1≤0，

π2

令g(x)＝x－sin x＋cos x－1，

π2

则g′(x)＝－cos x－sin x

ππ2

x＋?， ＝－2sin??4?π

π2

x＋?，x∈[0，π]与y＝的图象易知， 由y＝2sin??4?π存在x0∈[0，π]，使得g′(x0)＝0，

故x∈(0，x0)时，g′(x)<0；x∈(x0，π)时，g′(x)>0， 所以g(x)的单调递减区间为(0，x0)，单调递增区间为(x0，π)， 所以g(x)的最大值为max{g(0)，g(π)}，而g(0)＝0，g(π)＝0，

222

又由a≤，x≥0，所以ax－sin x＋1＋cos x≤x－sin x－1＋cos x≤0，当且仅当a＝，x＝0或x＝π时，等

πππ号成立，即f(x)＋cos x≤0.