圆、椭圆的参数方程的应用
1．能用曲线的参数方程去研究曲线的性质． 2．会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题．
[基础·初探]
1．圆的参数方程
??x＝a＋rcos α，
圆的参数方程的常见形式为?
?y＝b＋rsin α?
(α为参数)．其中，参数α的几何
意义是以圆心A(a，b)为顶点，且与x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P所在半径成的角．
2．椭圆的参数方程
??x＝acos θ，
椭圆的参数方程的常见形式为?
?y＝bsin θ?
(θ为参数)．
[思考·探究]
1．椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联系？
x2y2222
【提示】 椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)和圆x＋y＝r普通方程都是平方和等于1的形式，
ab故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同．
2．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义是什么？
1x′＝x，??a【提示】 从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令?1
y′＝??by，
x2y222
椭圆2＋2＝1可以变成圆x′＋y′＝1.
ab利用圆x′＋y′＝1的参数方程
??x′＝cos φ，???y′＝sin φ22
??x＝acos φ，x2y2
(φ是参数)可以得到椭圆2＋2＝1的参数方程?
ab??y＝bsin φ
(φ是参数)．因此，参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为离心角)，而不是OM的旋转角，如图．
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问4：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________
2
2
圆的参数方程的应用 在圆x＋2x＋y＝0上求一点，使它到直线2x＋3y－5＝0的距离最大．
【自主解答】 圆的方程x＋2x＋y＝0可化为(x＋1)＋y＝1，所以设圆的参数方程为
??x＝－1＋cos θ，
?
?y＝sin θ.?
2
2
2
2
设P(－1＋cos θ，sin θ)，则点P到直线2x＋3y－5＝0的距离为
d＝
＝
|2
－1＋cos θ＋3sin θ－5|
22
2＋3
|2cos θ＋3sin θ－7|
13
|13sinθ＋α－7|213
(其中sin α＝，
1313
＝
313
cos α＝)．
13
3π
当sin(θ＋α)＝－1，θ＋α＝，
2
3π13＋713213
即θ＝－α时，d取到最大值，此时x＝－1＋cos θ＝－1－，y＝
21313313
sin θ＝－，
13
213313
即点P(－1－，－)即为所求．
1313[再练一题]
1．已知点P(x，y)在圆x＋y＝1上，求x＋2xy＋3y的最大值和最小值． 【解】 圆x2
2
2
2
2
2
??x＝cos α，＋y＝1的参数方程为?
?y＝sin α?
22
2
2
(α为参数)．
∴x＋2xy＋3y＝cosα＋2cos αsin α＋3sinα ＝
1＋cos 2α1－cos 2α＋sin 2α＋3× 22
π
＝2＋sin 2α－cos 2α＝2＋2sin(2α－)．
4
3π22
则当α＝kπ＋(k∈Z)时，x＋2xy＋3y取最大值为2＋2，
8π22
当α＝kπ－(k∈Z)时，x＋2xy＋3y取最小值为2－2.
8
2
2
椭圆参数方程的应用 已知实数x，y满足3x＋2y＝6x，求： (1)x＋y的最大值； (2)x＋y的取值范围．
【导学号：98990035】
【思路探究】 本题表面上看是代数题，但由于方程3x＋2y＝6x可以表示一个椭圆，故可以用椭圆的参数方程来解．
2
2
2
2
x＝1＋cos θ，??y222
【自主解答】 方程3x＋2y＝6x，即(x－1)＋＝1.设?33y＝ sin θ.?2?2
2
(1)x＋y＝1＋cos θ＋ ＝1＋ 3
sin θ 2
56
sin(θ＋α)(其中tan α＝，θ∈[0,2π))． 23
10
. 2
所以x＋y的最大值为1＋
(2)x＋y＝(1＋cos θ)＋(
222
32sin θ) 2
325121922
＝1＋2cos θ＋cosθ＋sinθ＝－cosθ＋2cos θ＝－(cos θ－2)＋，
22222因为cos θ∈[－1,1]，所以0≤x＋y≤4.
??x＝acos φ，
利用椭圆的参数方程?
??y＝bsin φ2
2
(φ是参数)，将问题转化为三角函数问题处理．
[再练一题]
2．(湖北高考)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为?
?x＝acos φ，?
??y＝bsin φ
(φ为参
数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以xπ?2?轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin?θ＋?＝m(m为非零常
4?2?数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．
x2y2
【解析】 由已知可得椭圆标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．
abπ?2?由ρsin?θ＋?＝m可得ρsin θ＋ρcos θ＝m，即直线的普通方程为x＋y＝m.4?2?又圆的普通方程为x＋y＝b，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点(c,0)，则得c＝m.又因为|m|c2222
直线l与圆O相切，所以＝b，因此c＝2b，即c＝2(a－c)．整理，得2＝，故椭圆
a32
2
2
2
2
C的离心率为e＝
【答案】
6
. 3
6 3
[真题链接赏析]
x2y2
(教材第47页例1)如图4-4-5，已知M是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上在第一
ab象限的点，A(a,0)和B(0，b)是椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值．
图4-4-5
(江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为
1x＝1＋t，?2??3??y＝2t
(t为参数)，椭圆C的参数方程为?
?x＝cos θ，?
??y＝2sin θ
(θ为参数)．设直
线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．
【命题意图】 知识：考查直线与椭圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及直线与椭圆的位置关系等．能力：通过参数方程与普通方程的互化及求线段AB长的过程，考查了运算求解能力．
【解】 椭圆C的普通方程为x＋＝1.
41x＝1＋t，?2?
将直线l的参数方程?
3y＝??2t7t＋16t＝0，
1616
解得t1＝0，t2＝－.所以AB＝|t1－t2|＝.
77
2
2
y2
?1?2
代入x＋＝1，得?1＋t?＋
4?2?
2
y2
?3?2
?t??2?
4
＝1，即
1．已知圆的方程为x＋y＝4x，则它的参数方程是________． 【解析】 x＋y＝4x可化为(x－2)＋y＝4， ∴圆心为(2,0)，半径r＝2.
??x＝2＋2cos θ，
∴参数方程为?
?y＝2sin θ???x＝2＋2cos θ，
【答案】 ?
?y＝2sin θ?
2
2
2
2
2
2
(θ为参数，0≤θ＜2π)．
(θ为参数，0≤θ＜2π)
?x＝32cos φ，
2．椭圆?
?y＝23sin φ
2
(φ为参数)的焦距是________．
【解析】 根据参数方程，可知a＝32，b＝23. ∴c＝
32
2
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2016_2017学年高中数学第二章参数方程2_3参数方程的应用第2课时圆椭圆的参数方程的应用学案苏
