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常见数列通项公式的求法
类型一：公式法1（或定义法）
an?1?an?p(p为常数)
an?1a?q(q为非零常数) n例1. 已知数列{a*n}满足a1?1，an?1?an?2(n?N)，求数列{an}的通项公式。
例2.已知数列{aan?1*n}满足a1?2，a?3 (n?N)，求
n数列{an}的通项公式。
变式练习：
1.已知数列{an}满足a1?2，an?1?an?1?0(n?N*)，求数列{an}的通项公式。
2.已知数列{an}满足a1??6，an?1?an?3(n?N*)，求数列{an}的通项公式。
3. 已知数列{a，a1n}满足a1?12?2，
1a?1a?2(n?2)，求数列{an}的通项公式。 n?1n?1an
4.已知数列{an}满足a1?1，an?1?3a*n(n?N)，求数列{an}的通项公式。
类型二：（累加法）an?1?an?f(n)
解法：把原递推公式转化为an?1?an?f(n)，利用累
加法(逐差相加法)求解
类型三：（叠乘法）an?1?f(n)an a例：已知数列{a*解法：把原递推公式转化为n?1n}满足an?1?an?2n?1(n?N)，
a?f(n)，利用累乘法(逐na1?1，求数列{an}的通项公式。
商相乘法)求解
例：在数列{an}中，已知a1?1，nan?1?(n?1)an，
(n?2)，求数列{an}的通项公式。
变式练习：
1.已知数列?a1* n?满足a1?2，an?1?an?2n，(n?N)求
数列{an}的通项公式。
变式练习：
1.已知数列?an?满足a2n1?3，an?1?n?1a， n，(n?N*)
求数列{an}的通项公式。 2.已知数列?aa1 n?满足a1?1，an?n?1?n(n?1)，
(n?2)，求数列{a n}的通项公式。
2.已知a3n?11?3，an?1?
3n?2an (n?1)，求数列{an}的通项公式。
3.已知数列{ann}满足an?1?an?2?3?1， (n?N*)，
a{a 1?3，求数列n}的通项公式。
4.已知数列?a?ln(1?13.已知数列 {an*n?中，a1?2，an?1?ann)，求数
n} 满足an?1?2?5an(n?N)，
列{an}的通项公式。
a1?3，求数列{an}的通项公式。
1欢迎下载。
类型四：递推公式为Sn与an的关系式Sn?f(an) 解法：这种类型一般利用
a?S1????????????????(n?1)n??2) ?Sn?Sn?1???????(n?与an?Sn?Sn?1?f(an)?f(an?1)消去Sn (n?2)或与Sn?f(Sn?Sn?1)(n?2)消去an进行求解。 例. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1?2且
Sn?2an?1(n?2)．求数列{an}的通项公式。
1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn?4an?2， 求数列{an}的通项公式。
2.已知数列{a2n}的前n项和为Sn，Sn?n?5n?1 求数列{an}的通项公式。
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，Snn?2?3， 求数列{an}的通项公式。
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类型五：待定系数法
an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)?0)） 解法：构造新数列?ban?1??n?；
a??p解出?，可得数列
n?bn?an??为等比数列
例：已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?1，求数列{an}的通项公式。
变式练习：
1. 已知数列{an}满足a1?3，an?1?2an?1
(n?N*)，求数列{an}的通项公式。
2.已知数列?an?中，a1?1，3an?1?4an?6，求数列
{an}的通项公式。
（b?N*n?0n），满足
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且
aa0，令cannbn?1?n?1bn?2bn?1bn?n?b求数列{cn}的通
n2Sn?3an?2n(n?N*)．求数列{an}的通项公式。
项公式。
2.已知数列{ann}满足an?1?3an?4?3，a1?1，求数
列{an}的通项公式。
类型六：交叉项问题
解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数
列。
类型七：（公式法2）
例：已知数列{an}满足a2an1?1，an?1?a(n?N*)，
n?2（a?pann?1n???p）p>0;
求数列{an}的通项公式。 解法：将其变形为
an?1 pn?1?anpn??p，即数列??an???pn?为以?p 为公差的等差数列；
例. 已知数列{ ann}满足an?1?2an?3?2，a1?2，求数
列{an}的通项公式。
变式练习： 1.
已
知
数
列
{an}满足
a1?1，
na n?1?(n?1)an?n(n?1)， (n?N*)，求数列{an}的
通项公式。
变式练习：
1.已知数列{a5n?1n}满足an?1?5an?，a 1?1，求数列
{an}的通项公式
2. 已知首项都为1的两个数列{a
n}、{bn}2欢迎下载。
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n2.等比数列{an}的前n项和Sn?2?1,求
类型四：错位相减法：
数列求和的常用方法
类型一：公式法 例 .已知log123x?log，求x?x?x3?????xn????的23前n项和.
变式练习
1.数列{an}中，an?2n?1,求Sn.
a2a22?a21?2?a3??n.
类型二：分组求和法 例. 求数列的前n项和：
1?1,12?4,1122?7,???,2n?1?3n?2，…
变式练习
1.已知数列{ann}中，an?2n?3，求Sn.
2.已知数列{a1n}中，an?(2n?1)?2n，求Sn.
类型三：倒序相加法
例.求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值.
1.已知f(x)?11?x，求f(1)?f(2)?f(3) ???f(2016)?f(12)?f(13)???f(12016)
3欢迎下载。
例.数列{an?1n}中，an(2n?1)?2，求Sn.
变式练习 1.求数列22,462n22,23,???,2n,???前n项的和.
2.数列{a项和为S2n}的前nn?2n，{bn}为等比数列，
且a1?b1,b2(a2?a1)?b1.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
数列的通项公式与求和的常见方法
