2019年高中数学单元测试卷
导数及其应用
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一、选择题
1. 设 a ? 0 且 a ? 1，则“函数 f (x) ? ax 在 R 上是减函数
”，是“函数 g(x) ? (2 ? a)x3 在 R 上是增函数”的 （A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（C）充分必要条件
2. 若 f (x) ? x? ? ?x ? ? ln x ，则 f '(x) ? ? 的解集为
A. (?, ??) B. （ -（ ?（ ??? +? C. (?, ??) D. (- ?, ?)
二、填空题
3.
f (x) ? e ? 2x ? k 在R上有两个零点，则实数k的取值范围为
若函数
x
4．若 g(x ? 1) ? 2x ? 3 ，则 g(x) 等于
f(x) + 2
5．已知函数f(x)，g(x)满足，f(5)=5，f﹐(5)=3，g(5)=4，g﹐(5)=1，则函数y= g(x) 的 图 象在x=5处的切线方程为▲ .
6．
??
0 ?1
(x2＋2 x＋1)dx＝ ．
1 3
7. 对正整数n，设曲线 y ? xn (1 ? x) 在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为 an ，则数列
a
{n } 的前n项和的公式是 n ? 1
.
8. 曲线 y ? ex 在x=1处的切线的斜率为
；
9. 函数f(x)=x3–
3bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围是
0 3 ＋ａｘ－２在区间（- 10. 若函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ∞,＋∞）上是增函数，则实数ａ的取值范围为 11．（文）已知函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? 3ax ? 1 在区间(??,??) 内既有极大值，又有极小值，则实数 a 的取值范围是 12. 如图，已知矩形ABCD的一边在x轴上，另两个顶点C，D落在二次函数 f (x) ? 4x ? x2 上． 求这个矩形面积的最大值。 13. 如图为函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象， y D C x O A B f '(x) 为函数 f (x) 的导函数，则不等式 x ? f '(x) ? 0 的解集为 y - 3 o 3 x 14. 函数 f (x) ? ax2 ? ln x ?1 在[e, ??) 上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ． 15. 已知函数 f (x) ? ?x3 ? ax 在区间 ??1,1?上是增函数，则实数 a 的取值范围是 . 16. 函数的单调递增区间是 （0，e） ．（4分） 17. 曲线 y ? sin x ? ex 在点（0,1）处的切线方程为 18. ． 的大小关系为 ▲ 已知函数 f (x) ? x sin x ， x ?R，则 f ( ) ， f (1)， f（? ）5 3 三、解答题 19. 已知函数 f (x) ? (ax2 ? x)ex ，其中e 是自然对数的底数， a ? R . （1） 当 a ? 0 时，解不等式 f (x) ? 0 ； （2） 若 f (x) 在[?1,1] 上是单调函数，求 a 的取值范围； （3） 当 a ? 0 时，求整数 k 的所有值，使方程 f (x) ? x ? 2 在[k, k ?1] 上有解。 ax＋b 20. 已知函数f(x)＝ x ex，a，b ∈ R，且a＞0． （1） 若a＝2，b＝1，求函数f(x)的极值； （2）设g(x)＝a(x－1)ex－f(x)． ① 当a＝1时，对任意x ∈ (0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b的最大值； ② b 设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求a的取值范围．(本小题满分1 6分) 1 解：（1）当a＝2，b＝1时，f (x)＝(2＋x)ex，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (x＋1)(2x－1) ex． .................................................................................... 2分 1 令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝2，列表 1 1 1 (－∞，－ 2 (0，2) x －1 (－1，0) (2，＋∞ 1) ) 所以f ′(x)＝ x2 f ′(x) f (x) 由表知f ??↗ (x)的极大值是f 0 极大值 － ↘ － － ↘ 0 极小值 ??↗ (x)的极小值是f (－1)＝e1，f
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