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泰山学院信息科学技术学院教案
数值分析 教研室 课程名称 授课题目 高等数学研究 授课对象 课时数 4 第十四讲 曲面积分与高斯公式 教学 目的 通过教学使学生掌握两类曲面积分的来源、定义、性质和计算方法，重点掌握高斯公式及曲面积分与路径无关的条件 重 点 难 点 1．重点两类曲面积分的计算方法； 2．难点高斯公式及补面法。 教 学 提 纲 第十四讲 曲面积分与高斯公式 1.第一类曲面积分 (1)问题的提出， 第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关 (2)第一类曲面积分的计算--------代入法 2. 第二类曲面积分 (1)问题的提出:第二类曲面积分与方向(侧)有关，改变方向，积分变号 (2)计算--------代入法 (3)高斯公式 ?p?Q?R??dxdydz???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy ????x?y?zD?D补面法 (4)曲面积分与积分路径无关问题 (5)奇点的处理方法。 精品文档
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教学过程与内容 教学 后记 第十四讲 曲面积分与高斯公式 一、.第一类曲面积分 1．问题的提出 设有一块光滑的金属曲面S 。它的密度是不均匀的。在其点(x,y,z)?s处密度为 f（x,y,z），并设f在S上连续,则金属曲面S的质量M?说明: 第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关 2．第一类曲面积分的计算(代入法) 设S 是一个光滑曲面， S 的方程是Z=f(x,y) , ??f(x,y,z)ds S??s22f(x,y,z)ds???f(x,y,z(x,y))1?zx?zydxdy D当 f?1时可得空间曲面面积的计算公式，即S?例1：I=??D221?zx?zydxdy ??sx2?y2ds,S是半球面x2?y2?z2?R2（z?0）。 【解】 z? ?z??x1?(R2?x2?y2, (x,y)?D,D:x2?y2?R2 ?x?z?y, ?222222?yR?x?yR?x?yRR?x?y2222 ?z2?z)?()2??x?y ??sx2?y2ds???x2?y2DRR?x?y22dxdy?R?2?0d??r0R1R?r22rdr =?2R32 222例2：P为椭球面S:x?y?z?yz?1的动点，若S在P处的切平面与xoy面垂直。 （１） 求点Ｐ的轨迹Ｃ； （２） 计算I????(x?3)y?2z4?y?z?4yz22dS，其中?为椭球面位于Ｃ上方的部分。 二、 第二类曲面积分 1．问题的提出 磁通量问题。表示??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy ?【说明】第二类曲面积分与方向(侧)有关，改变方向，积分变号 精品文档
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2．第二类曲面积分计算(代入法) ??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy用代入法计算时,一般应分成三个计算: ? ①??R(x,y,z)dxdy????R[(x,y,z(x,y)]dxdy（如果曲面积分取?的上侧取?号，?Dxy如果曲面积分取?的下侧取-号）. 类似有 ②??P(x,y,z)dydz????P[(x(y,z),y,z)]dydz（如果曲面积分取?的前侧取?号，?Dxy如果曲面积分取?的后侧取-号）。 ③??Q(x,y,z)dzdx????R[(x,y(z,x),z]dzdx（如果曲面积分取?的右侧取?号，?Dxy222x?y?1, ，其中是圆面(z?x)dydz?2xydzdx?zdxdy???如果曲面积分取?的左侧取-号）. 例3:计算曲面积分?z?0下侧。 【分析】 由于在?上，z?0,进而dz?0 ，所以 2(z???x)dydz?2xydzdx?(2?z)dxdy???(2?z)dxdy????2dxdy??2? ??D【点评】本题展示的化简积分的方法是非常重要的。 例4:计算曲面积分2(z???x)dydz?zdxdy，其中?是旋转抛物面z??12(x?y2)介于2平面z?0及z?2之间的下侧 【分析】 22(z?x)dydz?zdxdy?(z?????x)dydz???zdxdy ???2??zdxdy可直接代公式计算, 而??(z???x)dydz需要分成前后两部分分别计算. 【解】（略） 3．高斯公式 设 D 是R内的一个有界闭区域，其边界由光滑曲面或逐片光滑曲面组成，方向是外侧（相对于区域D而言）。又设函数P，Q，R都在D内关于 x,y,z有连续偏导数，则下列高斯公式成立： 精品文档
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?p?Q?R??dxdydz???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy ????x?y?zD?D由Gauss公式可计算某些空间立体积分 V= ???Ddxdydz?1xdydz?ydzdx?zdxdy3???D 例5： 计算2222333x?y?z?a, 式中S为球面的内侧 xdydz?ydzdx?zdxdy??S【解】 由高斯公式 知 ??xdydz?ydzdx?zdxdy??3???(xSV3332?y2?z2)dV 2?a42??a4??3?0d???0d??0?sin?d???3?0d??0sin?d???0?d?=?3?2??(?cos?例6：计算曲面积分 ?15?125)?a??a 055 I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy,?2 y2(0?z?1)的上侧。 其中?为曲面z?1?x?4【分析】（补面法）本题曲面?不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。 y2?1,z?0，取下侧. 则 【解】 补充曲面：?1:x?42I????1??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy?1 =???(z?2z)dxdydz???3xydxdy?D 22y??1 其中?为?与1所为成的空间区域，D为平面区域x?4. 由于区域D关于x轴对称，因此??3xydxdy?0 又 D.???(z?2z)dxdydz?3???zdxdy3???10=zdz??dxdy?3?z?2?(1?z)dz??.Dz01 精品文档
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y2?1?z. 其中Dz:x?42【评注】 （1）注意在计算过程中尽量利用对称性进行简化。本题也可通过直接投影进行计算，但计算过程比较复杂。 （2）本题中的三重积分计算用“先二后一”法，若用“先一后二”法计算量是大的 例7：计算dydzdzdxdxdy??,??xyzSS:x2?y2?z2?a2,a?0外侧。 【分析】该题P?111,Q?,R?，它们在S所包围的区域内不连续(在原点没定义，xyz偏导数不存在)，所以不能用高斯公式。 【解】 dydzdzdxdxdydydzdzdxdxdy????? ????????xyzxyzSSSS由积分表达式及S的对称性知 dydzdzdxdxdy??所以 ??????xyzSSSdydzdzdxdxdydxdy???3 ????xyzzSS 记上半球（上侧）为S上，记下半球（下侧）为S下 dxdydxdydxdydxdydxdy??????????????zzza2?x2?y2D?a2?x2?y2SS上S下D=2 所以 ??Ddxdya?x?y2222??2?d??0a2ra?r20dr?4?a dydzdzdxdxdy???12?a ??xyzS 4.曲面积分与积分路径无关问题 设G是空间二维单连通区域，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在G内具有一精品文档
(整理)14第十四讲曲面积分与高斯公式.
