2．3.1 椭圆的参数方程
[对应学生用书P31]
[读教材·填要点]
椭圆的参数方程
??x＝acos t，x2y2
中心在原点，焦点在x轴上的椭圆2＋2＝1的参数方程是?
ab?y＝bsin t?
,0≤t≤2π.
中心在M0(x0，y0)的椭圆0≤t≤2π.
x－x0
a2
2
＋
y－y0
b22
??x＝x0＋acos t＝1的参数方程是?
?y＝y0＋bsin t?
[小问题·大思维]
y2x2
1．中心在原点，焦点在y轴上的椭圆2＋2＝1的参数方程是什么？
ab??提示：由?x??b＝cosφ，
22
2
y22
2＝sin φ，a
??x＝bcos φ，得?
?y＝asin φ.?
??x＝bcos φ，
即参数方程为?
?y＝asin φ?
(0≤φ≤2π)．
??x＝rcos θ，
2．圆的参数方程?
?y＝rsin θ?
中参数θ的意义与椭圆的参数方程中参数φ的意
义相同吗？
提示：圆的参数方程?
?x＝rcos θ，?
??y＝rsin θ转角，但在椭圆的参数方程?
?x＝acos φ，?
??y＝bsin φ
(0≤θ≤2π)中的参数θ是动点M(x，y)的旋
(0≤φ≤2π)中的φ不是动点M(x，y)的旋
转角，它是点M所对应的圆的半径OA＝a(或OB＝b)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角．
1
[对应学生用书P32]
[例1] 已知椭圆＋＝1有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积．
10064[思路点拨] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答此题需要设出A点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知B，C，D的坐标，从而求出矩形的面积的表达式．
[精解详析] ∵椭圆方程为
＋＝1， 10064
利用椭圆的参数方程求最值 x2y2
x2y2
∴可设A点的坐标为(10cos α，8sin α)， 则|AD|＝20|cos α|，|AB|＝16|sin α|.
∴S矩形＝|AB|·|AD|＝20×16|sin α·cos α|＝160|sin 2α|. ∵|sin 2α|≤1，
∴矩形ABCD的最大面积为160.
利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为： (1)求出椭圆的参数方程；
(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)； (3)借助三角函数的知识求最值．
1．已知实数x，y满足＋＝1，求目标函数z＝x－2φ的最大值与最小值．
2516
??x＝5cos φ，
解：椭圆＋＝1的参数方程为?
2516?y＝4sin φ，?
x2y2
x2y2
0≤φ≤2π.
代入目标函数得
2
z＝5cos φ－8sin φ＝52＋82cos(φ＋φ0)
8??＝89cos(φ＋φ0)?tan φ0＝?. 5??所以zmin＝－89，zmax＝89.
[例2] 由椭圆＋＝1上的点M向x轴作垂线，交x轴于点N，
49设P是MN的中点，求点P的轨迹方程．
[思路点拨] 本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法．解答此
题需要先求出椭圆的参数方程，即M点的坐标，然后利用中点坐标公式表示出P的坐标即可求得轨迹．
??x＝2cos θ，
[精解详析] 椭圆＋＝1的参数方程为?
49?y＝3sin θ?
利用椭圆的参数方程求轨迹方程 x2y2
x2y2
(0≤θ≤2π)，
∴设M(2cos θ，3sin θ)，P(x，y)，
x＝2cos θ，??
∴?3sin θy＝，?2?
消去θ，得＋＝1，表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆．
49
x24y2
利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用θ表示点的坐标，再利用sinθ＋cos θ＝1进行消参．本题的解决方法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
22
x2y2
2．设F1，F2分别为椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．
ab?3?(1)若椭圆C上的点A?1，?到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标； ?2?
(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．
?3?解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.又点A?1，?在椭?2?
3
圆上，所以＋2＝1，得b＝3，于是c＝a－b＝1，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦
4b43点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)．
(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ，3sin θ)，线段F1P的中点坐标为(x，
?3?2
??1?2?
2222
x2y2
y)，则
x＝
2cos θ－13sin θ＋0
，y＝， 22
12y所以x＋＝cos θ，＝sin θ.
23124y消去θ，得(x＋)＋＝1.
23
[例3] 已知椭圆＋y＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别4交x轴于P，Q两点，求证：|OP|·|OQ|为定值．
[思路点拨] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答本题需要先确定B1，B2两点的坐标，并用椭圆的参数方程表示出M点的坐标，然后用参数表示出|OP|·|OQ|即可．
[精解详析] 设M(2cos φ，sin φ)(0≤φ≤2π)，B1(0，－1)，B2(0,1)， sin φ＋1
则MB1的方程：y＋1＝·x.
2cos φ2cos φ令y＝0，则x＝，
sin φ＋1即|OP|＝?∴|OQ|＝?
利用椭圆的参数方程证明等式或定值问题 2
x2
2
?2cos φ?.MB的方程：y－1＝sin φ－1x，
?2
2cos φ?1＋sin φ??2cos φ?.
?
?1－sin φ?
?2cos φ?×?2cos φ?＝4.
???
?1＋sin φ??1－sin φ?
∴|OP|·|OQ|＝?
即|OP|·|OQ|＝4为定值．
(1)利用椭圆的参数方程可把几何问题转化为三角问题，便于计算或证明．
4
(2)利用参数方程解决此类问题时，要注意参数的取值范围．
??x＝acos θ，
3．求证：椭圆?
??y＝bsin θ2
2
2
2
(a>b>0,0≤θ≤2π)上一点M与其左焦点F的距离的
最大值为a＋c(其中c＝a－b)．
证明：M，F的坐标分别为(acos θ，bsin θ)，(－c,0)． |MF|＝(acos θ＋c)＋(bsin θ) ＝acosθ＋2accos θ＋c＋b－bcosθ ＝ccosθ＋2accos θ＋a ＝(a＋ccos θ).
∴当cos θ＝1时，|MF|最大，|MF|最大，最大值为a＋c.
[对应学生用书P33]
一、选择题
??x＝2cos θ，
1．椭圆?
?y＝5sin θ?
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(0≤θ≤2π)的离心率为( )
4
2521 25
2
A. 5C.
21 5
B.
D.
解析：选C 由椭圆的参数方程可知a＝5，b＝2. 所以c＝5－2＝21， 故椭圆的离心率e＝＝2
2
ca21
，故选C. 5
?x＝23cos θ，
2．曲线?
?y＝32sin θA.6 C．26
(0≤θ≤2π)中两焦点间的距离是( )
B.3 D．23
5
高中数学第二章参数方程2.3.1椭圆曲线的参数方程学案新人教B选修4-4
