∵AB=AD，∠AOB=∠DEA=90°， ∴△AOB≌△DEA（AAS）， ∴ED=AO=-a，AE=OB=4， 故点D（a+4，a），
由点A、D的坐标可得，直线AD的表达式为：y=a（x-a），
联立AD与反比例函数表达式并整理得：ax2-a2x-16=0， △=（-a2）2-4a×（16）=0，解得：a=-4（不合题意值已舍去）； （Ⅱ）当边BC与双曲线有一个交点时， 同理可得：a=-16，
所以当正方形ABCD的边与反比例函数的图象有4个交点时，a的取值范围为：-16＜a＜-4；
综上所述，a的取值范围是a＞2或-16＜a＜-4．
【解析】（1）①由题意得：
，解得
，
，即可求解；②利
用△=0，即可求解；
（2）分a＞0、a＜0两种情况，探讨正方形的边与反比例函数图象交点的情况，进而求解．
本题考查的是反比例函数的综合运用，涉及到一次函数的性质、根的判别式的应用、三角形全等等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 24.【答案】解：（1）连接AG，如图2所示，
由折叠得：AG⊥EF， ∵EF∥BD， ∴AG⊥BD，
在矩形ABCD中，AB=8，BC=6， ∴∠DAB=90°，AD=BC=6， ∴DB=
=
=10，
∴cos∠ADB===， ∴DG=AD?cos∠ADB=6×=．
（2）①当∠DGF=90°时，此时点D，G，E三点共线，
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设AF=3t，则FG=3t，AE=4t，DF=6-3t，
在Rt△DFG中，DG2+FG2=DF2，即DG2=（6-3t）2-（3t）2=36-36t， ∵tan∠FDG==， ∴
=，
解得t=， ∴AE=．
②当∠GDF=90°时，点G在DC上，过点E作EH⊥CD于H，则四边形ADHE是矩形，EH=AD=6．
设AF=3t，则FG=3t，AE=4t，DF=6-3t， ∵∠FDG=∠FGE=∠EHG=90°， ∴∠DGF+∠DFG=90°，∠DGF+∠EGH=90°， ∴∠DFG=∠EGH， ∴△GDF∽△EHG， ∴==， ∴
==，
∴DG=，GH=8-4k， ∵DG+GH=AE， ∴+8-4k=4k， ∴k=， ∴AE=．
综上所述：AE=或．
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（3）①当△AEF∽△GHE时，如图4-1，过点H作HP⊥AB于P，
∵∠AEF=∠FEG=∠EHG，∠EHG+∠HEG=90°， ∴△FEG+∠HEG=90°， ∴∠A=∠FEH=90°， ∴△AEF∽△EHF，
∴EF：HE=AF：AE=1：2， ∵∠A=∠HPE=90°， ∴∠AEF+∠HEP=90°，∠HEP+∠EHP=90°， ∴∠AEF=∠EHP， ∴△AEF∽△HPE，
∴EA：HP=EF：EH=1：2， ∵HP=6， ∴AE=3．
②当△AEF∽△GHE时，如图4-2，过点H作HP⊥AB于P，
同法可得EF：HE=1：2，EA：HP=1：2， 设AF=t，则AE=2t，EP=2t，HP=4t， ∴BP=8-4t，
∵△BHP∽△BDA， ∴4t：6=（8-4t）：8， 解得：t=，AE=．
③当△AEF∽△GEH时，如图4-3，过点G作MN∥AB交AD于点M，过点E作EN⊥MN于N．
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设AF=t，则AE=2t，DF=6-t，
由翻折可知：△AEF≌△GEF，AE=GE， ∵△AEF∽△GEH，AE=GE，
∴△AEF≌△GEH（AAS或ASA）， ∴FG=GH， ∵MG∥DH， ∴FM=（6-t）， ∴AM=EN=AF+FM=
，
又∵△FMG∽△GNE，且GF：GE=1：2， ∵MG=NE=AM=∵MN=AE， ∴
+6-t=2t，
，GN=2FN=6-t，
解得t=， ∴AE=．
④当△AEF∽△GEH时，如图4-4，过点G作MN∥AB交AD于点M，过点E作EN⊥MN于N，过点H作HQ⊥AD于Q，设AF=t，则AE=2t，
设 FM=a，
∴NG=2a，NE=a+t， ∴MG=EN=AM=∴
+2a=2t ①，
，
由上题可知：MF=MQ=a，QH=2MG=a+t， ∴DQ=6-t-2a，
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∵=， ∴
= ②，
解得t=， ∴AE=，
综上所述，满足条件的AE的值为3或或或．
【解析】（1）连接AG，如图2所示，首先证明AG⊥BD，解直角三角形即可解决问题． （2）分两种情形：①当∠DGF=90°时，此时点D，G，E三点共线，②当∠GDF=90°时，点G在DC上，过点E作EH⊥CD于H，则四边形ADHE是矩形，分别求解即可． （3）分四种情形：①当△AEF∽△GHE时，如图4-1，过点H作HP⊥AB于P．②当
△AEF∽△GHE时，如图4-2，过点H作HP⊥AB于P．③当△AEF∽△GEH时，如图4-3，过点G作MN∥AB交AD于点M，过点E作EN⊥MN于N．④当△AEF∽△GEH时，如图4-4，过点G作MN∥AB交AD于点M，过点E作EN⊥MN于N，过点H作HQ⊥AD于Q，分别求解即可．
本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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2020年浙江省金华市永康市中考数学一模试卷
