立足通性通法 寻求解题策略 ——含参函数单调性分类讨论
的标准
安徽省枞阳县会宫中学 (246740) 方明生 【期刊名称】《中学数学研究》 【年(卷),期】2019(000)009 【总页数】3
【文献来源】https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_middle-school-mathematics-research_thesis/0201276106214.html
近几年的全国卷，导数均以压轴题的身份出现，难度教大，学生的得分普遍较低，让不少学生望而生畏．不管是求极值、最值、不等式证明还是函数零点的个数问题，最终都会涉及到含参函数的单调性，而正是这个参数“吓退”了我们的学生．追起根源，我们会发现含参函数的单调性问题的本质其实就是解含参的一元一次不等式、一元二次型不等式．而含参不等式的解法亦是高中不等式题型的难点，大部分学生根本把握不好分类讨论的标准，容易出现重复或者遗漏．通过笔者多年的教学，对此类题型形成了一点自己的见解，今天写出来供大家参考，不当之处请方家指正．
一、一元一次不等式型
例1 设函数f(x)=xekx，求f(x)的单调区间．
解:由题意可得f′(x)=ekx+kxekx=ekx(1+kx)，易知ekx>0恒成立．
令g(x)=kx+1.当k=0时，g(x)=1>0恒成立，得f(x)在R上单调递增；当k>0时，由g(x)>0得得当k<0时，由g(x)>0得得
综上，当k=0时，函数f(x)在R上单调递增；当k>0时，函数f(x)的单调递增
区间为单调递减区间为当k<0时，函数f(x)的单调递增区间为单调递减区间为 评注:原题求导后转化为求解不等式g(x)>0和g(x)<0，因为在解不等式过程中要将参数k除到右边，根据不等式的性质，此时就需要对k的正负进行讨论．故一元一次不等式讨论的标准是：(1)对一次项前的系数分正、负和零进行分类讨论；(2)在系数为正(或负)的情况下判断根是否在定义域内，从而进一步展开讨论．
二、一元二次不等式型
例2 (2019湖南五市十校联考)已知函数讨论函数f(x)的单调性． 解：函数f(x)的定义域为令g(x)=mx2-2x+m(对二次项系数进行讨论) (1)当m=0时，f′(x)=-2x<0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减． (2)当m>0时，函数g(x)开口朝上，Δ=4-4m2(对判别式正负进行讨论)． (ⅰ)当Δ≤0时，即m≥1，此时f′(x)≥0恒成立，故函数f(x)在(0，+∞)单调递增．
(ⅱ)当Δ>0时，即0 (3)当m<0时，(此步易判断f′(x)<0恒成立，考虑有部分学生做题时不善于去发现规律，故而笔者依旧按照对应的解题步骤去完成)函数g(x)开口朝下，Δ=4-4m2. (ⅰ)当Δ≤0时，即m≤-1，此时f′(x)≤0恒成立，故函数f(x)在(0，+∞)单调递减． (ⅱ)当Δ>0时，即-1 义域内，借助二次函数的图像知此时f′(x)≤0恒成立，故函数f(x)在(0，+∞)单调递减． 综上，m≤0时，函数f(x)在(0，+∞)单调递减；m≥1时，函数f(x)在(0，+∞)单调递增；0 评注:本题求导后进行通分，分母恒为正，故而不需要考虑分母的正负.解一元二次不等式关键在于二项式系数的正负讨论(学生容易忽略为零的情况)、根的存在以及根的大小.例2的讨论标准是对系数的正负以及判别式进行的讨论. 例3 试讨论函数的单调性． 解:函数的定义域为(0，+∞),且易知x2>0). 令g(x)=-ax2+x+a-1. (1)当a=0时，g(x)=x-1(一次函数).令g(x)>0得到x>1；令g(x)<0，得0 ①当Δ=0时，即此时x1=x2，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增． ②当Δ>0时，即a>0,且此时方程g(x)=0的实根为(对根是否在定义域展开讨论) (ⅰ)当a≥1时，方程的根不在定义域内．令g(x)>0得0 (ⅱ)当0
立足通性通法 寻求解题策略——含参函数单调性分类讨论的标准
