第二章 雷达脉冲压缩信号基本理论
的脉冲压缩技术奠定理论基础。 2.1雷达信号处理基本理论简介 2.1.1匹配滤波
在介绍脉冲压缩之前，首先要了解关于雷达信号处理的基本基本理论，为研究雷达信号
匹配滤波（matched filtering）是最佳滤波的一种。当输入信号具有某一特殊波形时，其输出达到最大。在形式上，一个匹配滤波器由以按时间反序排列的输入信号构成。且滤波器的振幅特性与信号的振幅谱一致。因此，对信号的匹配滤波相当于对信号进行自相关运算。配滤波器是一种非常重要的滤波器，广泛应用与通信、雷达等系统中。
现假设一雷达输入信号为x(t)，其中已知的雷达信号为s(t)，噪声信号为n(t)。那么有
x(t)?s(t)?n(t) （2.1）
其中雷达信号s(t)的频谱表达式和能量表达式分别可以用式2.2和2.3表示。
S(f)??s(t)?exp(?j2?ft)dt （2.2）
???E??|S(f)|2df （2.3）
???假设匹配滤波器的冲激响应为h(t)，那么滤波器的输出响应为：
y(t)?ys(t)?yn(t) （2.4）
其中滤波器对s(t)的响应函数ys(t)的表达式为：
?ys(t)????H(f)S(f)exp(j2?ft)df （2.5）
再假设滤波器的输出信号成分在t0时刻会得到一个峰值，那么输出信号的峰值功率为：
?ys(t0)?|??? H(f)S(f)exp(j2?ft0)df|2 （2.6）
此外，噪声的平均功率为：
Nyn(t)?022????|H(f)|2 df （2.7）
因此可以得到信噪比：
??|ys(t0)|2SNR??2|yn(t)||???H(f)S(f)exp(j2?ft0)df|N02?2|H(f)|df?2???2|S(f)|df?N0/2?2E （2.8） N0??当式2.8满足信噪比最大值的时候，则有：
H(f)?KS*(f)exp(?j2?ft0) （2.9）
转换为时域，则有
h(t)?Ks*(t0?t) （2.10）
从上面的理论推导可以看到，当输出信噪比为最大值的时候，滤波器的传递函数与输入信号的频谱函数满足特定的关系，式2.10就反映了这个关系。满足这种关系的线性滤波器，称之为匹配滤波器。
匹配滤波器的在数学上的运算作用就是对输入信号s(t)做相关运算。在t?t0时刻，信号各频率分量同相叠加，得到最大输出值，其输出值的大小只与信号能量有关。
通过上面的分析可知，所谓的最优滤波器，实际上都是在某个准则下的最优。匹配滤波器对应的最优的准则是输出信噪比(SNR)最大。而且还有一个前提条件是在白噪声背景下。 匹配滤波器在很多场合有应用，本课题的雷达信号脉冲压缩技术中匹配滤波器是一个核心功能模块，在MATLAB中仿真，可以得到匹配滤波前后的仿真效果图如图2.1所示。
图2.1 雷达信号进入匹配滤波器前后对比仿真图
从上面的仿真可以看到，当信号通过匹配滤波器之后，信号的在某一时刻会产生一个最大值，这个最大值就是滤波器的输出值，其胖瓣会产生明显的衰减现象。通过匹配滤波之后的雷达信号，由于对其进行目标的跟踪与搜索。
通过上面的理论分析和仿真可以知道，匹配滤波器具备如下的特征：
一方面，从幅频特性来看，匹配滤波器和输入信号的幅频特性完全一样。这也就是说，在信号越强的频率点，滤波器的放大倍数也越大；在信号越弱的频率点，滤波器的放大倍数也越小。也就是说，匹配滤波器是让信号尽可能通过，而不管噪声的特性。
另外一方面，从相频特性上看，匹配滤波器的相频特性和输入信号正好完全相反。这样，通过匹配滤波器后，信号的相位为0，正好能实现信号时域上的相干叠加。而噪声的相位是随机的，只能实现非相干叠加。这样在时域上保证了输出信噪比的最大。
实际上，在信号与系统的幅频特性与相频特性中，幅频特性更多地表征了频率特性，而相频特性更多地表征了时间特性。匹配滤波器无论是从时域还是从频域，都充分保证了信号尽可能大地通过，噪声尽可能小地通过，因此能获得最大信噪比的输出。 2.1.2模糊函数
在雷达理论中，模糊与分辨是两个既有联系又有区别的概念。对多个目标来说，模糊就是不能分辨。雷达的分辨力取决于模糊图中心主瓣的宽度。雷达模糊度不仅考虑主瓣宽度，还考虑模糊图旁瓣的影响。因此，在研究雷达分辨理论之前，首先要明确一个概念，这就是模糊函数的概念，这个是雷达分辨理论的基础。 首先建立雷达回波信号的点目标模型：
s(t)?u(t)exp(j2?f0t) （2.11）
其中发射信号包络为u(t)，窄带信号为s(t)。
那么，目标在斜距R(t)上引起回波信号Sr(t)相对发射信号s(t)延时?(t)，那么 Sr(t)为
sr(t)?s[t??(t)]?u[t??(t)]exp{j2?f0[t??(t)]} （2.12）
可以得到回波延时表达式：
?(t)?2R(t)2R02v??t （2.13） c?vcc2R2R2v2v)t?0]exp{j2?f0[(1?)t?0]} （2.14） cccc于是2.12变为有
sr(t)?u[(1?现再假设有两个回波sr1(t)和sr2(t)，设其延迟和多普勒频移分别为?1，fd和?1??，fd??。那么根据式子2.14就会有：
sr1(t)?u(t??1)exp[j2?(f0?fd)(t??1)] （2.15） sr2(t)?u(t??1??)exp[j2?(f0?fd??)(t??1??)] （2.16）
显然，两个回波信号之间的差别越大就越容易分离，我们一般使用方差来表示两个信号的差
别，其方差值为：
????|sr1(t)?sr2(t)|2dt （2.17）
???22?2 ??4?|u(t)|dt?2Re{exp[?j2?(f0?fd)?]?u(t)u*(t??)exp(j2??t)dt} （2.18）
????根据2.18来定义一个函数：
??(?,?)???*u(t)u(t??)exp(j2??t)dt （2.19） ?其频域变化式为：
??(?,?)????u(f??)u(f)exp(j2?f?)dt （2.20）
*并给出均方差的一个保|?(?,?)|是决定邻近目标的距离和多普勒联合分辨力的唯一因素，守估计。|?(?,?)|愈大，则?2扩愈小，对目标难以分辨，或称其模糊。
因此|?(?,?)|就是所谓的模糊函数。
以上是得到模糊函数的理论推导，下面通过MATLAB仿真给出一个比较直观的模糊函数说明。通过仿真，其模糊函数如下所示：
图2.2 7位巴克码线性调频的模糊函数仿真效果图
以上是7位巴克码线性调频的模糊函数。
2.1.3雷达分辨力理论
雷达区分邻近目标的能力。脉冲雷达的分辨能力分为距离分辨力、角度分辨力和速度分辨力以及联合分辨力等。这里重点介绍雷达的距离分辨力和速度分辨力。
距离分辨力：雷达在距离上区分邻近目标的能力，通常以最小可分辨的距离间隔来度量。雷达距离分辨力约为c/(2B)。c为光速；B为雷达信号带宽。雷达脉冲宽度若为1微秒,在无脉内调制时信号带宽为1兆赫,则距离分辨力约150米；有100兆赫的脉内调频时，信号带宽相应增大为100兆赫，则距离分辨力约为1.5米。
速度分辨力：雷达在径向速度上区分目标的能力。雷达的速度分辨力取决于雷达工作波长λ 和相干信号处理器的积累时间T，约为λ/(2T)。例如, 一部工作在5厘米波长的雷达，相干积累时间为 250毫秒，则速度分辨力约为0.1米/秒。
下面重点讨论这两种分辨力，根据模糊函数，对于距离分辨率，取??0，得到聚类模糊函数：
??(?,0)???* u(t)u(t??)dt （2.21）?提高分辨力的要素是使|?(?,0)|随|?|的增加而迅速减少。对式2.21进行幂级数展开得到：
?|?(?,0)|21?2|?(?,0)|2|?(?,0)|?|?(0,0)|?|??0??|??0?2?0(?2) （2.22） 2??2??22信号能量E归一化，则有近似公式：
|?(?,0)|2?1??2?2 （2.23）
信号参数?十分重要，增大?是提高分辨力的途径。?称为信号的等效带宽。
?22??2?[?f|U(f)|df] （2.24）
??12在通常情况下，通过加大脉冲宽度来提高平均功率将降低距离分辨力，而脉冲压缩技术采用的是通过脉内附加调频的方法，扩展信号等效带宽，对信号作匹配滤波，输出压缩后的窄脉冲，从而提高了宽脉冲信号的距离分辨力。
对于速度分辨率，取??0，则有
? ?(0,?)??|u(t)|2exp(j2??t)dt （2.25）
??在频域表示成：
雷达脉冲压缩信号基本理论
