概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号 第七章 参数估计（一）
一、选择题：
1矩估计必然是 [ C ] （A）无偏估计 （B）总体矩的函数 （C）样本矩的函数 （D）极大似然估计
2．设X1,X2是正态总体N(?,1)的容量为2的样本，?为未知参数，?的无偏估计是 [ D ] （A）
24123123X1?X2 （B）X1?X2 （C）X1?X2 （D）X1?X2 33444455 3．设某钢珠直径X服从正态总体N(?,1)（单位：mm），其中?为未知参数，从刚生产的一大堆钢珠抽出9个，求的样本均值X?31.06，样本方差S9?0.98，则?的极大似然估计值为 [ A ]
（A）31.06 （B）(31.06?0.98 , 31.06 + 0.98) （C）0.98 （D）9×31.06 二、填空题：
22?都是总体未知参数?的估计量，称??比??有效，则??与??的期望与方差 1．如果??1与?21212一定满
足 E???E??,D???D?? 12122．设样本x1?0.5,x2?0.5,x3?0.2来自总体X~f(x,?)??x数?时，似然函数为L(?)? ?3(0.05)??1
3．假设总体X服从正态分布N(?,?),X1,X2?,Xn(n?1)为X的样本，
2???C?(Xi?1?Xi)2是?2的一个无偏估计，则C? i?1n?1??1，用最大似然法估计参
21
2(n?1)X123 三、计算题：
1．设总体X具有分布律，其中?(0???1)为未知参数，
pi?22?(1??)(1??)2已知取得了样本值x1?1,x2?2,x3?1，试求?的最大似然估计值。
三、1.解：该样本的似然函数为 L(?)??4?2?(1??)?2?5?2?6. 令L'(?)?0得??5.6?1?2．设X1,X2,?,Xn是来自于总体X~f(x)?????00?x??其它 (??0)的样本,
试求：（1）?的一个无偏估计?1；（2）?的极大似然估计?2.
???2X, E(??)?2E(X)?2????2、(1)E(X)??X??22
??的一个无偏估计为2X.
(2)似然函数为：L(?;X1,?,Xn)???n,0?Xi??,i?1,?,n
显然L是?的一个单值递减函数.
要使（L?;X1,?,Xn）???n达到极大，就要使?达到最小，但?
不能小于每一个Xi( i?1,2,3?,n),
所以?的极大似然估计量为：?2?max{X1,X2,?,Xn}.
?(??1)x?3．设总体X的概率密度为f(x)??0?0?x?1其它，其中???1是未知参数，
X1,X2,?,Xn为一个样本，试求参数?的矩估计量和最大似然估计量。
3、?①EX??x?(??1)x?dx?01??1,??2用样本一阶原点矩作为总体一阶原点矩的估计，即X?EX???1??2X?1.故?的矩估计量为2X?1.,得???21?X1?Xni?1②设似然函数L(?)??(??1)x?i即lnL(?)?nln(??1)???lnxii?1n则dlnL(?)ndlnL(?)???lnxi，令?0d???1i?1d?n???1?得?Ln?lnxini?1*4. 设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?0,?)的简单随机样本，其中?0已知，?2>0未知，
2?2（2）2（1）求?的极大似然估计?；，计算X和S2分别表示样本均值和样本方差。?2和D??2。(考研题 2002)
E?
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号 第七章 参数估计（二）
一、选择题：
1．设总体X服从正态分布X~N(?,?)，其中?未知,?2已知，X1,X2,?,Xn为样本，
21nX??Xini?1[ D ]
，则
?的置信水平为0.95的置信区间是
（A）(X?Z0.95?n,X?Z0.95?n) （B）(X?Z0.05?n,X?Z0.05?n)
（C）(X?Z0.975?n,X?Z0.9752?n) （D）(X?Z0.025?n,X?Z0.025?n)
2．设总体X~N(?,?)，对参数?或?2进行区间估计时，不能采用的样本函数有 [ D ]
n?X?X?X??X?? （A） （B） （C）??i? （D）Xn?X1
???/nS/ni?1?2二、计算题：
1．设总体X的方差为(0.3)，根据来自X的容量为5的简单随机样本，测得样本均值为21.8，求X的数学期望的置信度为0.95的置信区间。
?? 二、(X?Z0.025,X?Z0.025)?(21.525,22.075).nn
2．设冷抽铜丝的折断力服从正态分布X~N(?,?)，从一批铜丝任取10根，测得折断力如下：578、572、570、568、572、570、570、596、584、572，求方差?2的0.90的置信区间。
22三、1.解：?未知，求?2置信水平为1??的置信区间为(n?1)S2(n?1)S2 (2,2).??/2(n?1)?1??/2(n?1)2这里n?10,S2?75.73,??0.1,?0.05(9)?16.919,2 ?0.95(9)?3.325.代入?2得的置信区间为(40.284,204.984).3．设来自总体X~N(?,25)得到容量为10的样本，算的样本均值X?19.8，来自总体
Y~N(?,36)得到容量为10的样本，算的样本均值Y?24.0，两样本的总体相互独立，求
?1??2的90%的置信区间。
22 解：?1,?2均已知,求?1??2置信水平为1??的置信区间为 22?12?2?12?2?,X?Y?Z??) (X?Y?Z?n1n2n1n222
22 这里n1?n2?10,X?19.8,Y?24.0,?1?25,?2?36,??0.1, Z0.05?1.645. 代入?1??2得的置信区间为(?8.2628,?0.1372).
4．某车间两条生产线生产同一种产品，产品的质量指标可以认为服从正态分布，现分别从两条生产线的产品中抽取容量为25和21的样本检测，算的修正方差分别是7.89和5.07，求产品质量指标方差比的95%的置信区间。
22解：?,?未知,求?/?1212置信水平为1??的置信区间为
S12S1211 (,) 22S2F?/2(n1?1,n2?1)S2F1??/2(n1?1,n2?1)
2这里n1?25,n2?21,S12?7.89,S2?5.07,??0.05,F0.025(24,20)
11F(24,20)??. 0.975F0.025(20,24)2.33
2代入?12/?2的置信区间为(0.6457,3.6260).
概率论与数理统计练习题第七章答案
