数列问题新情境，理解题意最关键
[典例] (2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于“1”的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )
A．18个 C．14个 [方法演示] 法一：列表法
根据题意得，必有a1＝0，a8＝1，则将0,1进行具体的排法一一列表如下：
B．16个 D．12个
由上述表格可知，不同的“规范01数列”共有14个． 法二：列举法
根据题意可得，必有a1＝0，a8＝1，而其余的各项：a1，a2，…，a8中有三个0和三个1，并且满足对任意k≤8，a1，a2，…，a8中“0”的个数不少于“1”的个数．可以一一列举出不同“规范01数列”，除第一项和第八项外，中间六项的排列如下：000111,001011,001101,001110,010011,010101,010110,011001,011010,100011,100101,100110,101001,101010，共14个．
(理)法三：分类计数法
根据题意可得该“规范01数列”共有八项，其中a1＝0，a8＝1，则不同的“规范01数列”的前四项按照“0”的个数进行分类讨论：若前四项全为0，则后四项一定全为1，这样的“规范01数列”只有1个；若前四项有3个0，则前四项的排列有3种，后四项的排列也有3种，这样的“规范01数列”有3×3＝9个；若前四项有2个0，则前四项的排列有2种，后四项的排列也有2种，这样的“规范01数列”有2×2＝4个．故不同的“规范01数列”的总数为14种．
(理)法四：填“空”格法
根据题意可得该“规范01数列”共有八项，其中，a1＝0，a8＝1，则不同的“规范01数列”采用“0,1”填“空”的方式计数．具体如下：
将“规范01数列”的八个项按照序号从小到大的方式以“空”格形式表示，再用“0,1”
去填“空”格．可以得到一些不同的“规范01数列”．
第7个“空”格填“1”，则其余5个“空”格只需选2个“空”格填“1”，然后再排除第2个和第3个“空”格连排“1”的情况，有C25－1＝9(种)；
第7个“空”格填“0”，显然第6个“空”格只能填“1”，再对第5个“空”格分类讨论：若第5个“空”格填“0”，第4个“空”格只能填“1”的方法只有2种；若第5个“空”格填“1”，那么最后一个“1”可以任意排的方法只有3种．故不同的“规范01数列”共有9＋2＋3＝14种．
答案：C [解题师说]
可以从以下三个方面解决此类问题．
(1)提取新定义的信息，明确新定义的名称和符号；
(2)深刻理解新定义的概念、法则、性质，纵横联系探求解题方法，比较相近知识点，明确不同点；
(3)对新定义中提取的知识进行等价转换，其中提取、化归与转化是解题的关键，也是解题的难点．
新定义问题的解题思路为：
①若新定义是运算法则，直接按照运算法则计算即可；
②若新定义是性质，要判断性质的适用性，能否利用定义外延；也可用特殊值排除等方法．
[应用体验]
1．(2018·茂名一模)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )
A．6斤 C．9.5斤
B．9斤 D．12斤
解析：选A 依题意， 金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．
2．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝[an]＋与小数部分)，则〈a2 018〉＝( )
A.3－1 B.3－13＋1
C.2－1 D. 23
1
([a]与〈an〉分别表示an的整数部分〈an〉n
解析：选B 因为a1＝3，an＋1＝[an]＋＝1＋
1，所以[a1]＝1，〈a1〉＝3－1，所以a2
〈an〉
3－13－1121＝2＋，a3＝2＋＝4＋(3－1)，a4＝4＋＝5＋，a5＝5
223－13－13－1
＋
3－13－121＝7＋(3－1)，a6＝7＋＝8＋，…，〈a2n－1〉＝3－1，〈a2n〉＝，
223－13－1
3－1
. 2
一、选择题
1．在数列{an}中，若存在非零整数T，使得am＋T＝am对于任意的正整数n均成立，那
所以〈a2 018〉＝
么称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．若数列{xn}满足xn＋1＝|xn－xn－1|(n≥2，n∈N)，如x1＝1，x2＝a(a∈R，a≠0)，当数列{xn}的周期最小时，该数列的前2 018项的和是( )
A．672 C．1 344
B．673 D．1 346
解析：选D 要使周期最小，即使得第一项之后的各项中尽早出现1，又已知第二项不应是0，所以1,0,1,0不符合．所以1,1,0,1,1,0，…，周期为3.又2 018＝3×672＋2，所以S2
018＝1＋1＋2×672＝1 346.
2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 C．5盏
B．3盏 D．9盏
解析：选B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7
a1?1－27?＝381，公比q＝2，依题意，得＝381，解得a1＝3.
1－2
3．《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九节问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)．问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为( )
7A. 267C. 66
37B. 3310D. 11
解析：选C 设从最下节往上的容量构成等差数列{an}，公差为d.则
数列问题新情境,理解题意最关键
