圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第4章功和能4.1复习笔记一、功1．功的定义一质点在力F的作用下，发生一无限小的元位移dr时（图4－1），力对质点做的功dA定义为力F和位移dr的标量积，即图4－1功的定义式中φ是力F与元位移dr之间的夹角，而F1＝Fcosφ为力F在位移dr方向的分力。2．功的方向功是标量。它没有方向，但有正负。（1）当0≤φ＜π／2时，dA＞0，力对质点做正功；（2）当φ＝π／2时，dA＝0，力对质点不做功；（3）当π／2＜φ≤π时，dA＜0，力对质点做负功。即质点在运动中克服力F做了功。3．功的计算（1）曲线运动1/115圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台一般地说，质点可以是沿曲线L运动，而且所受的力随质点的位置发生变化，则质点沿路径L从A点到B点力F对它做的功AAB等于经过各段无限小元位移时力所做的功的总和，可表示为这一积分在数学上叫做力F沿路径L从A到B的线积分。（2）直线运动质点沿直线运动，受着与速度方向成φ角的恒力作用。这种情况下，式中SAB是质点从A到B经过的位移的大小。在国际单位制中，功的量纲是ML2T2，单位名称是焦[耳]，符号为J，1J＝1N?m，其他常见的功的非Sl单位有尔格（erg）、电子伏（eV），4．保守力（1）定义保守力是指做功与路径无关，只决定于系统的始末位置的力。（2）常见的保守力重力和弹簧的弹力都是保守力。而摩擦力做的功直接与路径有关，所以摩擦力不是保守力，或者说它是非保守力。保守力有另一个等价定义：保守力作用在物体上，当物体沿闭合路径移动一周时，做的功为零。2/115圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台二、动能定理1．动能的定义定义为质点在速度为υ时的动能。2．动能定理合外力对质点做的功要改变质点的动能，而功的数值就等于质点动能的增量，或者说力对质点做的功是质点动能改变的量度。公式表达式为：或式中υA和υB分别是质点经过A和B时的速率，而EkA和EkB分别是相应时刻质点的动能。动能和功的量纲和单位都相同，即为ML2T－2和J。3．质点系的动能定理所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量。公示表达为：式中等号左侧前项是外力对质点系所做功之和，用Aex表示。左侧后项是质点系内力所做功之和，用Ain表示。等号右侧是质点系总动能的增量，可写为EkB－EkA。这一结论可以推广到由任意多个质点组成的质点系，即用于质点系的动能定理。注意：系统内力的功之和可以不为零，因而可以改变系统的总动能，但不能改变系统的3/115圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台总动量。4．质点系的动能柯尼希定理：一个质点系相对于某一惯性系的总动能等于该质点系的轨道动能和内动能之和。公示表达为：其中Ek为质点系的总动能；EkC为质点系的轨道动能（质心的动能），表示质量等于质点系总质量的一个质点以质心速度运动时的动能；大小为示质点系相对于其质心参考系的总动能，大小为；Ek,in为质点系的内动能，表。三、势能1．重力势能（1）概念质量为m的物体在高度h处的重力势能为Ep＝mgh（2）概念说明①重力是保守力，重力势能是式中A，B分别代表重力做功的起点和终点。此式表明，重力做的功等于物体重力势能的减少。②计算重力势能时要求预先选定参考高度或称重力势能零点，在该高度时物体的重力势能为零。③由于重力是地球和物体之间的引力，所以重力势能应属于物体和地球这一系统。4/115圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台④重力势能的值相对于所选用的任一参考系都是一样的。2．弹性势能（1）概念弹簧在x处的弹性势能表示式为当x＝0时，Ep＝0，由此可知弹性势能的”零点”对应于弹簧的伸长为零，即它处于原长的形状。注：弹簧的弹性势能属于弹簧的整体，而且由于其伸长x是弹簧的长度相对于自身原长的变化，所以它的弹性势能也和选用的参考系无关。（2）势能曲线势能曲线是表示势能随位形变化的曲线，弹簧的弹性势能曲线如图4－2所示，是一条抛物线。图4－2弹簧的弹性势能曲线（3）说明①只有对保守力才能引入势能概念。保守力做的功等于系统势能的减少，即②势能的具体数值要求预先选定系统的某一位形为势能零点。③势能属于有保守力相互作用的系统整体。④系统的势能与参考系无关。5/115
张三慧《大学物理学：力学、电磁学》(第3版)(B版)笔记和课后习题(含考研真题)详解 第(4-6)章
