中国石油大学（华东）第五届 《概率论与数理统计》竞赛试卷 （2015-2016学年）
专业班级 姓 名 学 号 主办单位 教务处
承办单位 理学院
考试日期 2015年11月 22日
页 号 本页满分 本页得分 注意事项：
一 24 二 20 三 20 四 20 五 总分 16 1．封面及试卷背面为草稿纸，附加页为答题纸，背面答题一律无效； 2．答案必须写在该题下方空白处，不得写在草稿纸上，否则该题答案无效；
3．本试卷正文共5页，共五道大题，满分100分； 4. 必须保持试卷本完整，拆页的作废。
一.填空题（每题3分，共12分）
1. 设A,B是任意两个事件，则 P{(A?B)(A______?B)(A?B)(?A?B)}_0________. 2. 设随机变量X服从泊松分布，且P(X?1)?4P(X?2)，则
?1____. P(X?3)?__16e本页满分24分 本 页得分 3. 设随机变量X服从（-2，2）上的均匀分布，则随机变量Y?X2的概率密度函
?1/(4y)数为fY(y)? fY(y)???00?y?4其他 .
4. 小王忘了朋友家电话号码的最后一位数, 故只能随意拨最后一个号,则他拨三次可拨通朋友家的概率为 0.3
二.选择题(每题3分，共12分)
1. 设B?A，则下面正确的等式是 b 。
（ａ）P(AB)?1?P(A)； （ｂ）P(B?A)?P(B)?P(A)； （ｃ）P(B|A)?P(B)； （ｄ）P(A|B)?P(A)
2.设连续性随机变量X1与X2相互独立，且方差均存在，X1与X2的概率密度分别
1f1x）为（与f2?x?，随机变量Y1的概率密度为fY1?y? = [f1(y)?f2(y)]，随机变量
21Y2= (X1?X2).则（ d ）
2(a)EY1>EY2，DY1>DY2 (b)EY1=EY2，DY1=DY2 (c)EY1=EY2，DY1
（ａ）P(xk?1?X?xk)； （ｂ）F(xk?1)?F(xk?1)； （ｃ）P(xk?1?X?xk?1)； （ｄ）F(xk)?F(xk?1).
4. 设随机变量X~?(3),Y~N(3,1)且X,Y相互独立，根据切比 雪夫不等式有P(X?3?Y?X?3)( d )
55 （a）?0.25. （b）?. （c）?0.75. （d）?.
99
三.计算题（50分，每题10分）
1. 已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认本页满分20分 为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为本 0.02求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率； 页 （2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率。 得 分
解：设A?‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B?‘任取一产品确是合格品’
则（1） P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)
?0.9?0.95?0.1?0.02?0.857. （2） P(B|A)?P(AB)0.9?0.95??0.9977. P(A)0.857
2. 设随机变量X的绝对值不大于1，且P(X??1)?1/8,P(X?1)?1/4; 在（-1,1）内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比 求X的分布函数F（x）
115P{?1?X?1}?1???488解：由题
5于是P{?1?X?x}=k(x?1)则80??F(x)??[5k(x?1)?1]/8,?1?x??1?1?x?1
x?1P{X=1}=F(1)-F(1_)=1-[10k?1]/8=1/4 k=1/2
0??故得F(x)??[5x+7]/16,?1?x??1?1?x?1x?1 第3页 共6页
3. 设在区间[0,1]上随机取n个点，求相距最远的两点间距离的数学期望。
解：n个点分区间为n+1段，设各段长度分为Xi 则?Xi?1，且Xi分布相同，期望相同。
i?1n1n?1EXi?，所求 E?Xi?
n?1n?1i?2n?1本页满分20分 本 页得分
4. X和Y独立，联合分布律如下，试求a,b,c,d,e
XY123123d e0.10.030.02a0.14bc解：由诸行诸列成比例知
XY12310.030.210.15k230.02d 于是d=0.02/k,由归一性可得下表两种解 0.147d0.1k0.18d+0.25K=0.5 d=0.05,k=0.4或d=0.0125,k=1.6
XY123Y0.030.020.05 10.210.140.3520.060.040.13123X10.030.210.2420.020.140.1630经检验，成立.0125 0.08750.1
5. X,Y独立同分布于几何分布e（p），求Z=Max{X,Y}的分布律 本页满分20分 解：记q=1-p
P(Z?k)?P(X?k,Y?K)?P(X?k,Y?k)?pqk?1k?1j?1k?pqj?1?pqk?1?pqi?1i?1
本 页得分 ?pqk?1(2?qk?1?qk)?k?1,2,?
四.应用题（10分）设考生的高数成绩（百分制）X服从正态分布，平均成绩（即参
数?之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生 的成绩，以Y表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y的分布列. （2）
EY和DY.
?0.97?7, (?(2)?(1)0. 884?72 解：（1）Y~B(100,p)，其中p?P(60?X?84)??( ??(?)
60?72?12)?2?()?1
?3PX(? 由 0.02? 得 ?(9?6)??12496?7224(??)?1 (??)24?)?0.977，即
??2，故
12??1
所以 p?2?(1)?1?0.6826.
k 故Y的分布列为P(Y?k)?C100(0.6826)k(0.3174)100?k
（2）EY?100?0.6826?68.26，DY?68.26?0.3174?21.6657.
第6页 共6页
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