中考数学易错题专题训练-一元二次方程组练习题及答案解析
一、一元二次方程
1．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析. 【解析】
试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm建立方程求出其解即可； （2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．
2
试题解析：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm，则
2
2
，（其中），当时，
，解这个方程，得
的两段；
（2）两正方形面积之和为48时，∵
2
，，∴应将之剪成12cm和28cm
，，
， ∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积
之和为48cm，李明的说法正确．
考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．
2．已知关于x的方程x2?3x?a?0①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程
k2?1(k?1)x?3x?2a?0②有实数根，又k为正整数，求代数式2的值．
k?k?62【答案】0. 【解析】 【分析】
2
由于关于x的方程x+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到2
关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨
论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解．
【详解】
解：设方程①的两个实数根分别为x1、x2
?x1?x2＝?3?则?x1x2＝a ， ?＝9?4a?0?由条件，知即
11x1?x2??=3， x1x2x1x2?39?3，且a?， a4故a＝－1，
2
则方程②为(k-1)x+3x+2=0，
2k2?1Ⅰ.当k-1=0时，k=1,x=?，则2?0.
3k?k?6Ⅱ.当k-1≠0时，?=9-8（k-1）=17-6-8k≥0，则k?17， 8k2?1又k是正整数，且k≠1，则k=2，但使2无意义.
k?k?6k2?1综上，代数式2的值为0
k?k?6【点睛】
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，
3．将m看作已知量，分别写出当0
与之间的函数关系式；
4．由图看出，用水量在m吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m吨，需要加收．
5．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍． （1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了
4m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到592%，求m的值．
【答案】（1）A社区居民人口至少有2.5万人；（2）m的值为50． 【解析】
【分析】
（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；
（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m的方程并解答． 【详解】
解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5-x）万人， 依题意得：7.5-x≤2x， 解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
2
（2）依题意得：1.2（1+m%）+1.5×（1+
44m%）+1.5×（1+m%）（1+2m%）=7.5×92%， 55解得m=50 答：m的值为50． 【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．
6．观察下列一组方程：①x2?x?0；②x2?3x?2?0；③x2?5x?6?0；
④x2?7x?12?0；?它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一
元二次方程为“连根一元二次方程”．
?1?若x2?kx?56?0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；
?2?请写出第n个方程和它的根．
【答案】（1）x1＝7，x2＝8.（2）x1＝n－1，x2＝n. 【解析】 【分析】
（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解. 【详解】
2
(x－8)＝0，解得x1＝解：(1)由题意可得k＝－15，则原方程为x－15x＋56＝0，则(x－7)·
7，x2＝8.
(2)第n个方程为x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，(x－n)(x－n＋1)＝0，解得x1＝n－1，x2＝n. 【点睛】
本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.
7．关于x的方程kx??k?2?x?2k?0有两个不相等的实数根． 4?1?求实数k的取值范围；
?2?是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存
在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）k??1且k?0；（2）不存在符合条件的实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【解析】 【分析】
?1?由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式
式，解不等式即可求出k的取值范围.
?0，由此可以得到关于k的不等
?2?首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等
于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k的等式，解出k值，然后判断k值是否在
?1?中的取值范围内.
【详解】
解：?1?依题意得?(k?2)?4k?2k?0， 4?k??1， 又k?0，
?k的取值范围是k??1且k?0；
?2?解：不存在符合条件的实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平
方根，
理由是：设方程kx??k?2?x?2k?0的两根分别为x1，x2， 4k?2?x?x????12k由根与系数的关系有：?，
1?x1x2??4?又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
??k?21?， k24?k??，
3由?1?知，k??1，且k?0，
4?k??不符合题意，
3因此不存在符合条件的实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【点睛】
本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。
8．已知:如图，在Rt?ABC中，?C?90?，AC?8cm，BC?6cm.直线PE 从B点出发，以2 cm/s的速度向点A方向运动，并始终与BC平行，与线段AC交于点E.同时，点F从C点出发，以1cm/s的速度沿CB向点B运动，设运动时间为t(s) (0?t?5) . (1)当t为何值时，四边形PFCE是矩形?
(2)当?ABC面积是?PEF的面积的5倍时，求出t的值;
【答案】（1）t?【解析】 【分析】
305?5；（2）t?。 112（1）首先根据勾股定理计算AB的长，再根据相似比例表示PE的长度，再结合矩形的性质即可求得t的值.
（2）根据面积相等列出方程，求解即可. 【详解】
解：（1）在Rt?ABC中，
?C?90?,AC?8,BC?6，
?AB?AC2?BC2?82?62?10
PE//BC,?PAPEAE10?2tPEAE??,??? ABBCAC106834?PE?(10?2t),AE?(10?2t)，当PE?CF时，四边形PECF是矩形，
55330?(10?2t)?t 解得t? 511（2）由题意?2422411t?t???6?8 255525?5 2整理得t2?5t?5?0，解得t??t?5?5，?ABC面积是?PEF的面积的5倍。 2【点睛】
本题主要考查矩形的动点问题，这是近几年的考试热点，必须熟练掌握.
中考数学易错题专题训练-一元二次方程组练习题及答案解析
