难点五 复杂数列的通项公式与求和问题
(对应学生用书第71页)
数列在高考中占重要地位，应当牢记等差、等比的通项公式，前n项和公式，等差、等比数列的性质，以及常见求数列通项的方法，如累加、累乘、构造等差、等比数列法、取倒数等．数列求和问题中，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．数列的求和问题多从数列的通项入手，通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、
一、数列的通项公式
等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．
数列的通项公式在数列中占有重要地位，是数列的基础之一，在高考中，等差数列和等比数列的通项公式，前n项和公式以及它们的性质是必考内容，一般以填空题的形式出现，属于低中档题，若数列与函数、不等式、解析几何、向量、三角函数等知识点交融，难度就较大，也是近几年命题的热点． 1．由数列的递推关系求通项
由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法： (1)an＋1－an＝f (n)型，采用叠加法． an＋1(2)＝f (n)型，采用叠乘法．
an
(3)an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1)型，转化为等比数列解决． 2．由Sn与an的关系求通项an
??Sn
Sn与an的关系为：an＝?
?Sn－Sn－?
＝，
【例1】 (2017·江苏省南京市迎一模模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋n＝2an(n∈N)．
(1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
Tn－2
(2)若bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式＞2 010
2n－1的n的最小值．
[解] (1)证明：当n＝1时，2a1＝a1＋1，∴a1＝1. ∵2an＝Sn＋n，n∈N，∴2an－1＝Sn－1＋n－1，n≥2，
两式相减得an＝2an－1＋1，n≥2，即an＋1＝2(an－1＋1)，n≥2， ∴数列{an＋1}为以2为首项，2为公比的等比数列，
*
*
∴an＋1＝2，∴an＝2－1，n∈N； (2)bn＝(2n＋1)an＋2n＋1＝(2n＋1)·2， ∴Tn＝3·2＋5·2＋…＋(2n＋1)·2， ∴2Tn＝3·2＋5·2＋…＋(2n＋1)·2
2
2
32
nn*
nnn＋1
，
nn＋1
两式相减可得－Tn＝3·2＋2·2＋2·2＋…＋2·2－(2n＋1)·2∴Tn＝(2n－1)·2∴
n＋1
3
，
＋2，
Tn－2n＋1
＞2 010可化为2＞2 010， 2n－1
10
11
∵2＝1 024,2＝2 048
Tn－2
∴满足不等式＞2 010的n的最小值为10.
2n－1
[点评] 利用an＝Sn－Sn－1求通项时，注意n≥2这一前提条件，易忽略验证n＝1致误，当n＝1时，a1若适合通项，则n＝1的情况应并入n≥2时的通项；否则an应利用分段函数的形式表示． 二、数列的求和
常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·qn－1
，利用等比数列前n项和公式直接求解；
(3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和；
(4)an＝bn·cn，数列{bn}，{cn}分别是等比数列和等差数列，采用错位相减法求和． 【例2】 (扬州市2017届高三上学期期末)已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且对任意n∈N，an＋1－an＝2(bn＋1－bn)恒成立． (1)若An＝n，b1＝2，求Bn； (2)若对任意n∈N，都有an＝Bn及数b1的取值范围；
A1AsAtn(3)若a1＝2，bn＝2，是否存在两个互不相等的整数s，t(1＜s＜t)，使，，成
B1BsBt等差数列？若存在，求出s，t的值；若不存在，请说明理由.
【导学号：56394102】
??1，n＝1，
[解] (1)因为An＝n，所以an＝?
?n2－－?
2*
2*
b2b3b4bn＋11
＋＋＋…＋＜成立，求正实a1a2a2a3a3a4anan＋13
，n≥2，
即an＝2n－1，
2019年高考数学二轮复习第2部分八大难点突破难点5复杂数列的通项公式与求和问题学案
