2012年高考数学二轮难点透析 1 集合思想及应用

难点1 集合思想及应用

集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.

●难点磁场

2

(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠?,求实数m的取值范围.

●案例探究

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［例1］设A={(x,y)|y－x－1=0},B={(x,y)|4x+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=?，证明此结论.

命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.

知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C=?转化为A∩C=?且B∩C=?，这样难度就降低了.

错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.

技巧与方法：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、k∈N,进而可得值.

解：∵(A∪B)∩C=?，∴A∩C=?且B∩C=?

?y2?x?1222∵? ∴kx+(2bk－1)x+b－1=0 ?y?kx?b∵A∩C=?

222

∴Δ1=(2bk－1)－4k(b－1)<0

222

∴4k－4bk+1<0,此不等式有解，其充要条件是16b－16>0,即b>1

①

?4x2?2x?2y?5?0∵?

y?kx?b?∴4x+(2－2k)x+(5+2b)=0

2

∵B∩C=?,∴Δ2=(1－k)－4(5－2b)<0

2

∴k－2k+8b－19<0,从而8b<20,即b<2.5 ② 由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得

2??4k?8k?1?0, ?2??k?2k?3?02

∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=?.

［例2］向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.

知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.

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错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.

技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.

3=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成5的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.

x设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不

3赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.

x依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21.

3所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人. ●锦囊妙计

1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.

2.注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A?B,则有A=?或A≠?两种可能，此时应分类讨论.

●歼灭难点训练 一、选择题

kx?k??1.(★★★★)集合M={x|x=?,k∈Z},N={x|x=?,k∈Z},则( )

2422A.M=N B.MN C.MN D.M∩N=?

2.(★★★★)已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1

A.－3≤m≤4 B.－3

2

3.(★★★★)已知集合A={x∈R|ax－3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1个，则a的取值范围是_________.

xy22

4. (2012广雅中学一模) (★★★★)x、y∈R,A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|?

ab=1,a>0,b>0},当A∩B只有一个元素时，a,b的关系式是_________.

三、解答题

222

5.(★★★★★)集合A={x|x－ax+a－19=0},B={x|log2(x－5x+8)=1}，C={x|x2+2x－8=0},求当a取什么实数时，A∩B ?和A∩C=?同时成立.

6.(★★★★★)已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项

S122*

和记作Sn,设集合A={(an,n)|n∈N},B={(x,y)| x－y=1,x,y∈R}.

4n解：赞成A的人数为50×

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试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明. (1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； (2)A∩B至多有一个元素；

(3)当a1≠0时，一定有A∩B≠?.

7.(★★★★)已知集合A={z||z－2|≤2,z∈C},集合B={w|w=

1zi+b,b∈R},当A∩B=B2时，求b的值.

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8.(★★★★)设f(x)=x+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}. (1)求证：A?B;

(2)如果A={－1，3}，求B.

参考答案

难点磁场

?x2?mx?y?2?02

解：由?得x+(m－1)x+1=0

?x?y?1?0(0?x?2) ①

∵A∩B≠?

∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.

2

首先，由Δ=(m－1)－4≥0,得m≥3或m≤－1,当m≥3时，由x1+x2=－(m－1)＜0及x1x2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求.

当m≤－1时，由x1+x2=－(m－1)>0及x1x2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.

故所求m的取值范围是m≤－1. 歼灭难点训练

?,n∈Z}∪{x|x= 43??nπ+,n∈Z},对N将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+,n423?5?∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}.

44一、1.解析：对M将k分成两类：k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+答案：C

2.解析：∵A∪B=A，∴B?A,又B≠?,

?m?1??2?∴?2m?1?7即2＜m≤4. ?m?1?2m?1?答案：D 二、3.a=0或a≥

9 82

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4.解析：由A∩B只有1个交点知，圆x+y=1与直线

abxy,即?=1相切，则1=22aba?bab=a2?b2.

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答案：ab=a2?b2

三、5.解：log2(x－5x+8)=1,由此得x－5x+8=2，∴B={2,3}.由x+2x－8=0，∴C={2,－

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4},又A∩C=?，∴2和－4都不是关于x的方程x－ax+a－19=0的解，而A∩B ?,即A∩B≠?,

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∴3是关于x的方程x－ax+a－19=0的解，∴可得a=5或a=－2.

当a=5时，得A={2，3}，∴A∩C={2}，这与A∩C=?不符合，所以a=5(舍去)；当a=－2时，可以求得A={3，－5}，符合A∩C=?，A∩B ?，∴a=－2.

2

2

2

n(a1?an)SS1,则n?(a1+an),这表明点(an,n）2n2nS111的坐标适合方程y?(x+a1),于是点(an, n)均在直线y=x+a1上.

222n11?y?x?a1??22的解，由方程

(2)正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组??1x2?y2?1??42***

组消去y得：2a1x+a1=－4()，当a1=0时，方程()无解，此时A∩B=?；当a1≠0时，方程()

6.解：(1)正确.在等差数列{an}中，Sn=

?4?a1只有一个解x=

2a122??4?a1?y?2a1?,此时，方程组也只有一解?,故上述方程组至多有一解.

2?y?a1?4?4a1?∴A∩B至多有一个元素.

Sn >0,这时集合A中的n元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0.如果A∩B≠?,那么据(2）

(3）不正确.取a1=1,d=1,对一切的x∈N,有an=a1+(n－1)d=n>0,

*

?4?a1a?x032??＜0,y0=1的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0）,而x0=?＜0,这样的2a1524(x0,y0）?A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=?，所以a1≠0时，一定有A∩B≠?是不正确的.

212w?2bzi+b得z=, 2i2w?2b∵z∈A,∴|z－2|≤2,代入得|－2|≤2,化简得|w－(b+i)|≤1.

i∴集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面.

又A∩B=B，即B?A，∴两圆内含.

7.解：由w=

因此(b?2)2?(1?0)2≤2－1,即(b－2)≤0，∴b=2.

2

8.(1)证明：设x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A. ∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0).

即有f［f(x0)］=f(x0)=x0,∴x0∈B,故A?B.

(2)证明：∵A={－1,3}={x|x+px+q=x},

2

∴方程x+(p－1)x+q=0有两根－1和3，应用韦达定理，得

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2

??1?3??(p?1),?p??1?? ?(?1)?3?qq??3??∴f(x)=x－x－3.

222*

于是集合B的元素是方程f［f(x)］=x,也即(x－x－3)－(x－x－3)－3=x()的根.

*222

将方程()变形，得(x－x－3）－x=0 2

解得x=1,3,3,－3. 故B={－3，－1，3，3}.

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