一类四维超混沌系统的Hopf分岔研究
陈玉明
【摘 要】摘 要 针对一类四维Lorenz型超混沌系统，基于中心流形及Hopf分岔相关理论，研究了该系统在原点平衡点处发生的Hopf分岔行为，得到了系统在Hopf分岔点的特性，包括分岔产生周期解的条件、周期解的分岔方向及稳定性等，并借助数值模拟验证了理论分析的正确性。【期刊名称】应用数学进展【年(卷),期】2017(006)004【总页数】8
【关键词】关键词 Lorenz型系统，超混沌，Hopf分岔
1.引言
E.N.Lorenz在研究气象模型时，在一类确定性系统中发现了类似于随机的动力学现象，即混沌行为，并于1963年提出了首个混沌数理模型，Lorenz系统[1]。由于混沌行为的特殊性，自从Lorenz系统被提出以后，大量来自于不同领域的数学家、物理学家及工程师们便对混沌的起源、混沌系统的特征与分岔行为、通向混沌的路径等各个方面，都展开了深入的研究[2][3][4]。超混沌，作为另一种复杂动力学行为，它比混沌行为具有更强的复杂性以及更强的应用潜力。由于在自治常微分方程系统中要产生超混沌行为，要求系统维数必须至少为四维，因此，对四维超混沌系统的研究，尤其是对四维Lorenz型超混沌系统的研究，将显得尤为重要。
在对混沌系统的研究中，系统分岔行为的研究是非常重要的一部分。随着系统平衡点稳定性的改变，即发生局部分岔行为，系统的局部动力学行为也会随之改变，甚至会引发系统全局动力学行为的变化。Hopf分岔是系统局部分岔中非常基本而又至关重要的一种， Hopf分岔的发生将伴随着系统极限环的产生或者消失。在三维混沌系统的研究中，文献[5]研究了统一Lorenz型系统的Hopf分岔行为，该系统包含了Lorenz, Chen, Lu及Yang等大量的经典三维混沌系统，在此基础上，进一步对退化Hopf分岔进行分析，该文献还发现了一种可通向混沌的路径。在四维超混沌系统的研究中，文献[6][7][8]分别研究了一类四维超混沌系统的Hopf分岔行为，得到了系统在Hopf分岔点的特性，包括分岔的周期解、周期解的分岔方向及稳定性等。
基于经典的三维Lorenz混沌系统，文献[9]通过线性反馈控制方法，得到了如下形式的四维超混沌系统：
其中参数满足a＞0, b＞0, r＞0。当系统参数选取a=21.7, b=7.3, c=6.6, d=?2, r=0.1及k=?9.5时，系统(1)具有超混沌吸引子，该吸引子所对应的Lyapunov指数为
该超混沌吸引子在x-y-z空间的投影相图如图1所示，其中红色的点为系统在该参数下的三个平衡点
一类四维超混沌系统的Hopf分岔研究
