人教A版高中数学必修四导练课时作业：3.2 简单的三角恒等变换

3.2 简单的三角恒等变换

选题明细表

知识点、方法 半角公式及应用 化简求值、证明问题 与三角函数性质有关问题 三角函数在实际问题中的应用 基础巩固

1.设π<θ<π,cos θ=a,则sin等于( B ) (A)(C)- (B) (D)-

=

.故

题号 1,2,4 5,6,8,9 3,7,10,12 11,13 解析:因为π<θ<π,所以<<π,所以sin>0,所以sin=选B.

2.(2024·丹东市期末)已知tan 60°=m,则cos 120°的值是( B ) (A)(C)

(B) (D)-

解析:因为tan 60°=m,

则cos 120°====.

3.若cos α=-,α是第三象限的角,则(A)- (B) (C)2 (D)-2 解析:因为α是第三象限角,cos α=-, 所以sin α=-.

等于( A )

所以===·===-.

4.+2的化简结果是( A )

(A)2cos 4-4sin 4 (B)2sin 4 (C)2sin 4-4cos 4 (D)-2sin 4 解析:原式=

+2

=×

+2

=2|sin 4|+2|sin 4-cos 4|. 因为sin 4<0,sin 4

所以原式=-2sin 4+2(cos 4-sin 4)=2cos 4-4sin 4. 5.(2024·台州市期末)设a=2sincos,b=cos25°-sin25°,c=( C )

(A)a

,则

解析:因为a=2sincos=sin=sin 72°=cos 18°, b=cos25°-sin25°=cos 10°, c=

=tan 60°==cos 30°,

而y=cos x在(0,π)上为减函数, 所以c

的结果为 . =

=|sin 1+cos 1|.

又0<1<,所以原式=sin 1+cos 1. 答案:sin 1+cos 1

7.(2024·沈阳市期末)函数y=cos2(x-)+sin2(x+)-1的最小正周期为 .

解析:y=cos2(x-)+sin2(x+)-1

=+-1

=

=sin 2x, 所以T==π. 答案:π

8.化简sin2x(解:原式=sin2x(=sin2x·=sin2x·

-tan)+cos 2x. -)+cos 2x

+cos 2x +cos 2x

=sin 2x+cos 2x =sin(2x+).

能力提升

9.(2024·武汉市期末)已知α,β∈(0,)且3sin β=sin (2α+β),4tan=1-tan2,则α+β的值为( B ) (A) (B) (C) (D)

解析:因为α,β∈(0,),且3sin β=sin (2α+β), 所以3sin [(α+β)-α]=sin [(α+β)+α],

即3sin (α+β)cos α-3cos (α+β)sin α=sin (α+β)cos α+cos (α+β)sin α,

化简可得2sin (α+β)cos α=4cos (α+β)sin α, 故有tan (α+β)=2tan α. 再根据4tan=1-tan2,

可得tan α==,

所以tan (α+β)=2tan α=1. 再根据α+β∈(0,π), 可得α+β=.

10.已知a∈R,f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos2(-x)满足f(-)=f(0),当x∈[,]时,则f(x)的值域为( D ) (A)[1,2] (B)[,] (C)[,2] (D)[,2] 解析:由题意得, f(x)=sin 2x-=sin 2x-cos 2x. 又f(-)=f(0), 所以a=2,

所以f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-),

所以当x∈[,π]时,2x-∈[,π],f(x)∈[,2].故选D. 11.在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积

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