一元二次方程之判别式法与韦达定理

一元二次方程之判别式法与韦达定理（一）

知识点梳理

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方式，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有超级普遍的应用。

韦达定理除已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还能够求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，和解一些有关二次曲线的问题等，都有超级普遍的应用。

一、一元二次方程根的判别式：??b?4ac

2（1）当Δ＞0时?方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ=0时?方程有两个相等的实数根； （3）当Δ< 0时?方程没有实数根，无解； （4）当Δ≥0时?方程有两个实数根

（5）根的判别式△＝b2－4ac的意义，在于不解方程能够判别根的情形，还能够依照根的情形确信未知系数的取值范围。

二、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： （1）若x1,x2是一元二次方程ax?bx?c?0的两个根，那么：x1?x2??22bc，x1?x2? aa（2）以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x?(x1?x2)x?x1x2?0 3、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着普遍的应用： （1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。 （2）不解方程，求某些代数式的值。

（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。 （4）已知两数和与积，求这两个数。 （5）二次三项式的因式分解。

???0注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件?。a?0?

例题讲解

例一、当k为何值时，关于x的方程x??2k?1?x??k?2k?3：

22⑴ 两个不相等的实数根； ⑵有两个相等的实数根； ⑶没有实数根。

2例二、m为何值时，关于x的方程mx?3mx?m?5?0有两个相等的实数根？并

求出这时方程的根。

2例3、已知方程x?3x?1?0的两实数根为?、?，不解方程求下列各式的值。

（1）?2??2；（2）?3????3；（3）???；??（4）???1????1?；（5）???；（6）3?2?4?2?3?

2 例4、 已知关于x的方程x??k?2?x?2k?0

（1）求证：不管k取任何实数值，方程总有实数根。

（2）若等腰三角形的一边长为1，另两边长正是那个方程的两个根，求三角形的周长。

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一、填空题：

1．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2= ，x1x2= ；若方程x2+px+q=0的两根为?,?,则??= ，???? 。

2．若方程2x(x+3)=1的两根别离为x1，x2，则x1+x2= ，x1x2= ，x12x2+ x1x22= ，x12+ x22= ，44?= 。 x1x23．关于x的一元二次方程2x2?3x?a2?1?0的一个根为2，则a的值为 。 4．已知一元二次方程x2?ax?2a?0 的两根之和为4a－3，则两根之积为 。

5．当m 时，一元二次方程x2?4x?m?0有实根；当m 时，两根同为正；当m 时，两根异号。 6．以?11,?为根的一元二次方程为 。 237．已知x1，x2是方程x2?6x?3?0的两个实数根，则

x2x1?的值为 。 x1x228．若是一元二次方程x2?mx?6?0的两个根别离比一元二次方程y?my?6?0的两个根均大5，则m的值为 。

二、解答题：

9．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：

(1) ?2x2?3?0 (2) x2?7x?3?0 (3) 3x(x?2)?5

10．k取何值时，方程kx2－（2k+1）x+k=0，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根．

11．已知关于x的方程x?(m?2)x?2m?1?0 . （1）求证：方程有两个不相等的实数根；

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