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3．5 两角和与差的正弦、
余弦与正切公式
[知识梳理]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α?β)：cos(α?β)＝cosαcosβ±sinαsinβ. (2)S(α±β)：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.
πtanα±tanβ?α，β，α±β≠＋kπ，k∈Z?(3)T(α±β)：tan(α±β)＝??. 21?tanαtanβ??2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α：sin2α＝2sinαcosα.
(2)C2α：cos2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα. 2tanα(3)T2α：tan2α＝ 2
1－tanα2
2
2
2
?α≠±π＋kπ，且α≠kπ＋π，k∈Z?. ??42??
3．公式的常用变形
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)． 1＋cos2α1－cos2α22(2)cosα＝，sinα＝.
22(3)1±sin2α＝(sinα±cosα)，
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2
文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 π??sinα±cosα＝2sin?α±?. 4??
(4)asinα＋bcosα＝a＋bsin(α＋φ)，其中cosφ＝tanφ＝(a≠0)．
特别提醒：(1)角：转化三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换，化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问题顺利获解．对角变换时：①可以通过诱导公式、两角和与差的三角公式等；②注意倍角的相对性；③注意拆角、拼角技巧，例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，
2
2
aa＋b22，sinφ＝ba＋b22，
baα＋βα－βα＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)，α－β2
2
ππ?π?＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，＋α＝－?－α?等．
42?4?
(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sinx＋cosx1222222
＝(sinx＋cosx)－2sinxcosx＝1－sin2x.
2
[诊断自测] 1．概念思辨
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．( ) (3)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小关系不确定．( ) (4)公式tan(α＋β)＝
tanα＋tanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－
1－tanαtanβ4
4
tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．教材衍化
(1)(必修A4P131T5)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A．－3311 B. C．－ D. 2222
答案 D
1解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝，故2选D.
π?1π?1??(2)(必修A4P146A组T3)已知tan?α＋?＝，tan?β－?＝，则tan(α＋β)＝6?26?3??________.
答案 1
π??π??解析 ∵α＋β＝?α＋?＋?β－?，
6??6??
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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 π?π?11??＋tan?α＋?＋tan?β－?6?6?23??
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
π??π?1?1－tan?α＋?tan?β－?1－6??6?6?3．小题热身
sin7°＋cos15°sin8°
(1)的值为( )
cos7－sin15°sin8°1
A．2＋3 B．2－3 C．2 D.
2答案 B
sin?15°－8°?＋cos15°sin8°
解析 原式＝
cos?15°－8°?－sin15°sin8°＝
sin15°cos8°tan45°－tan30°
＝tan15°＝tan(45°－30°)＝
cos15°cos8°1＋tan45°tan30°1－＝
3
3
3－13＋1
31＋
3
＝＝2－3.故选B.
4?π?(2)若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，且α是第二象限角，则tan?＋α?5?4?等于( )
11
A．7 B．－7 C. D．－
77答案 C
4
解析 ∵sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，
54
∴cosα＝－.
5
33
又α是第二象限角，∴sinα＝，则tanα＝－.
54π3
tan＋tanα1－
441?π?∴tan?＋α?＝＝＝.故选C. π37?4?
1－tantanα1＋
44
题型1 求值问题
2
π?317π7πsin2x＋2sinx ?＋x?＝，若 本题采用“函数转化法”． 3如有帮助欢迎下载支持
2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.5两角和与差的正弦、余弦与正切公式学案理
