第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
[考纲传真] 1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 [常用结论]
1．充分条件、必要条件的两个结论
(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件； (2)若p是q的充分不必要条件，则
q是
p的充分不必要条件．
p?q且p?/q p?/q且q?p p?q p?/q且q?/p 2．充分条件、必要条件与集合的关系
p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 [基础自测] A?B B?A AB BA A＝B 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题．
( )
q”． ( )
( )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．
(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．( ) [解析] (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．
(3)正确．q是p的必要条件说明p?q，所以p是q的充分条件． (4)正确．原命题与逆否命题是等价命题． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
π
2．(教材改编)命题“若α＝4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) π
A．若α≠4，则tan α≠1 π
B．若α＝4，则tan α≠1 π
C．若tan α≠1，则α≠4 π
D．若tan α≠1，则α＝4 C [“若p，则q”的逆否命题是“若
q，则
p”，显然
q：tan α≠1，
π
p：α≠4，π
所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠4”．]
3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A [a＝3时，A＝{1,3}，显然A?B. 但A?B时，a＝2或3.
∴“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件．]
4．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
B [x＜?/－1＜x＜3，但－1＜x＜3?x＜3，因此p是q的必要不充分条件，故选B.] 5．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．
因此4个命题中有2个假命题．]
四种命题的相互关系及真假判断
1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是( ) A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0 B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0 C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
D [“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.]
2．(2019·开封模拟)下列命题中为真命题的是( ) A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题 B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题 1
D．命题“若x＞1，则x＞1”的逆否命题
B [对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，1
则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若x＞1，则
x＞1”是假命题，则其逆否命题为假命题，故选B.]
3．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( ) A．不拥有的人们会幸福 B．幸福的人们不都拥有 C．拥有的人们不幸福 D．不拥有的人们不幸福
D [命题的等价命题就是其逆否命题，故选D.]
4．“若m＜n，则ms2＜ns2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．
2 [原命题：“若m＜n，则ms2＜ns2”，这是假命题，因为若s＝0时，由m＜n，得到ms2
＝ns2＝0，不能推出ms2＜ns2.
逆命题：“若ms2＜ns2，则m＜n”，这是真命题，因为由ms2＜ns2得到s2＞0，所以两边同除以s2，得m＜n，因为原命题和逆否命题的真假相同，逆命题和否命题的真假相同，所以真命题的个数是2.]
[规律方法] 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意： (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； (2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提． 2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可． 3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假． 充分条件、必要条件的判断 【例1】 (1)(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“m?M”是“m?N”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
bd
(1)B (2)A [(1)a，b，c，d是非零实数，若ad＝bc，则a＝c，此时a，b，c，d不一定成ac
等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则b＝d，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.
(2)条件与结论都是否定形式，可转化为判断“m∈N”是“m∈M”的什么条件．由N
M知，“m∈N”是“m∈M”的充分不必要条件，从而“m?M”是“m?N”的充分不必要条件，故选A.]
[规律方法] 充分条件和必要条件的三种判断方法 ?1?定义法：可按照以下三个步骤进行 ①确定条件p是什么，结论q是什么； ②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p； ③确定条件p和结论q的关系. ?2?等价转换法：对于含否定形式的命题，如﹁p是﹁q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件. ?3?集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 易错警示：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p的一个充分不必要条件是q”应是“q推出p，而p不能推出q”. (1)(2018·天津高考)设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的( ) A．充分而不必要条件 C．充要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
p是
q的( )
(2)已知条件p：x＞1或x＜－3，条件q：5x－6＞x2，则A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
(1)A (2)A [(1)由x3＞8可得x＞2，从而|x|＞2成立， 由|x|＞2可得x＞2或x＜－2，从而x3＞8不一定成立． 因此“x3＞8”是“|x|＞2”的充分而不必要条件，故选A. (2)由5x－6＞x2得2＜x＜3，即q：2＜x＜3. 所以q?p，p即
p是
q，从而q是p的充分不必要条件．
q的充分不必要条件，故选A.]
2020版第1章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件
