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内的圆周运动的合成．在考察圆周运动的速率时可以把圆周运动看做沿水平方向的直线运动，结果小球的运动等价于小球沿直角三角形斜边的运动．小球自静止开始沿螺旋环运动到在竖直方向离初始位置的距离为h的位置时，设小球相对薄片斜边的速度为v?，沿薄片斜边的加速度为a?．薄片相对地面向左移动的速度为u，向左移动的加速度为a0．u就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的线速度，若此时螺旋环转动的角速度为?，则有
u??R
（3）
而a0就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的切向加速度，若此时螺旋环转动的角加速度为?，则有
a0??R （4）
小球位于斜面上的受力情况如图2所示：重力mg，方向竖直向下，斜面的支持力N，方向与斜面垂直，以薄片为参考系时的惯性力f，方向水平向右，其大小
?Nf*a0a?mg图2?f??ma0 （5）
由牛顿定律有
mgcosθ?N?f?sin??? （6） mgsin??f?cos??ma? （7）
Nsin??ma0 （8）
解（5）、（6）、（7）、（8）四式得
2sin?g （9） 2??sin? cos?N=mg （10）
1?sin2? sin?cos?a0?g （11）
1+sin2?a?=利用（2）式可得
a?=5（12） g3
N=5mg （13） 31g （14） 3a0?
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由（4）式和（14）式，可得螺旋环的角加速度
???g（15） ?R
若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为t，则此时螺旋环的角速度
???t （16）
因小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成，而小球沿竖直方向的加速度
??a?sin?（17） a??a?
故有
h=1a?t2 （18） 2由（15）、（16）、（17）、（18）、以及（2）式得
???2gh （19）
R3小球在水平面内作圆周运动的向心力由螺旋环提供，向心力位于水平面内，方向指向转轴，故向心力与图2中的纸面垂直，亦即与N垂直．向心力的大小
N1?m2vPR （20）
式中v是小球相对地面的速度在水平面内的分量.若a为小球相对地面的加速度在水平面内的分量，则有
vP?aPt （21）
令a?为a?在水平面内的分量，有
??a0?a?cos?-a0 （22） aP?aP由以上有关各式得
N1?小球作用于螺旋环的力的大小
2hmg （23） 3RN0?N2?N12 （24）
由（13）、（23）和（24）式得
mg4h2N0?5?2 （25）
3R
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评分标准：本题22分．
（1）、（2）式共3分，（9）或（12）式1分，（10）或（13）式5分，（11）或（14）式1分，（19）式6分，（23）式4分，（25）式2分． 四、参考解答：
以v表示粒子的速率，以B表示电流i产生磁场的磁感应强度，根据题意粒子作圆周运动的向心力为粒子受到的磁场洛仑兹力，因此有
i y R q x
qvB?m而
v （1） Rd 2?t O v??R （2）
由（1）、（2）两式得
B?m?（3）
q
如图建立坐标系，则粒子在时刻t的位置
x(t)?Rcos?t，y(t)?Rsin?t （4）
取电流的正方向与y轴的正向一致，设时刻t长直导线上的电流为i(t)，它产生的磁场在粒子所在处磁感应强度大小为
B?ki(t) （5）
d?x(t)方向垂直圆周所在的平面.由（4）、（5）式，可得
i(t)?k
评分标准：本题12分．
m?(d?Rcos?t) （6） q（3）式4分，（4）式2分，（5）式4分，（6）式2分．
五、参考解答：
1．质点在A?B应作减速运动（参看图1）．设质点在A点的最小初动能为Ek0，则根据能量守恒，可得质点刚好能到达B点的条件为 M Q C kqQkqQkqQkqQ （1） ??mgR?Ek0??R3R/22R5R/2由此可得 O? ?Q O R2 Ek0?mgR?7kqQ （2） 30RR B R A q N 图1
2． 质点在B?O的运动有三种可能情况： 陈老师物理 13277994433 QQ:1220282233
i．质点在B?O作加速运动（参看图1），对应条件为
mg?4kqQ （3） 9R2此时只要质点能过B点，也必然能到达O点，因此质点能到达O点所需的最小初动能由（2）式给出，即
Ek0?mgR?7kqQ （4） 30R若（3）式中取等号，则最小初动能应比（4）式给出的Ek0略大一点．
ii．质点在B?O作减速运动（参看图1），对应条件为
mg?4kqQ （5） 2R此时质点刚好能到达O点的条件为
kqQkqQkqQkqQ （6） ??mg(2R)?Ek0??RR/22R5R/2由此可得
Ek0?2mgR?11kqQ （7） 10Riii．质点在B?O之间存在一平衡点D（参看图2），在B?D质点作减速运动，在D?O质点作加速运动，对应条件为
Q C M O? 4kqQ4kqQ （8） ?mg?229RR设D到O点的距离为x，则
?Q O D x R2 R mg?即
kqQ （9）
2(?R/2??x)B R A q N 图2
x?kqQR? （10） mg2根据能量守恒，质点刚好能到达D点的条件为
kqQkqQkqQkqQ （11）
??mg(2R?x)?Ek0??R2R5R/2?R/2??x由（10）、（11）两式可得质点能到达D点的最小初动能为
Ek0?59kqQmgR??2kgmqQ （12） 210R只要质点能过D点也必然能到达O点，所以，质点能到达O点的最小初动能也就是（12）式
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（严格讲应比（12）式给出的Ek0略大一点．）
评分标准：本题20分．
第1小问5分．求得（2）式给5分．
第2小问15分．算出第i种情况下的初动能给2分；算出第ii种情况下的初动能给5分；算出第iii种情况下的初动能给8分，其中（10）式占3分．
六、参考解答：
rL
A
rL 图 1
rL B
rL n?1时，A、B间等效电路如图1所示， A、
B间的电阻
1R1?(2rL)?rL2（1）
n?2时，A、B间等效电路如图2所示，A、B间的电阻
R2?1?41??rL?R1? （2） 2?33?23rL13R123rLB
由（1）、（2）两式得
A 235R2?rL (3)
6
29rL
13R1
23rL
1图2
1n?3时，A、B间等效电路如图3所示，A、
B间的电阻
rL 93rL 13rL 13R2 rL 933911rL 29rL 1?1?331??R3???2??3?3??2?rL?R2?2?9?443??（4） 由（3）、（4）式得
A
2991rL rL rL 29B
rL 9rL 13rL 13R2 rL 93391rL 7R3?rL （5）
9
评分标准：本题20分．
（1）式4分，（3）式6分，（5）式10分．
七、参考解答：
39rL
图3
rL
24１．根据题意，太阳辐射的总功率PS?4πRS?TS．太阳辐射各向同性地向外传播．设地
第27届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案
