电 场 强 度 叠 加 原 理
1．点电荷的场强：电荷Q，空间r处
??FQ?0 E＝?r
q4??0r22．点电荷系：
在点电荷系Q1，Q2，…，Qn的电场中，在P点放一试验电荷q0，根据库仑力的叠加原理，可
??知试验电荷受到的作用力为F??Fi，因而P点的电场强度为 ??F E＝?q??Fiq??Fi????Ei
q???Qir即 E＝?Ei＝? 34??0r点电荷系电场中某点的场强等于各个点电荷单独存在时在该点的场强的矢量和。这就是电场强度的叠加原理。
3．连续分布电荷激发的场强
将带电区域分成许多电荷元dq，则
??E＝?dE??dq?0r
4??0r2??dv?0r 其中，对于电荷体分布，dq=ρdv， E＝???2v4??0r??ds?0r 对于电荷面分布，dq=σds，E＝??24??r0s 对于电荷线分布，dq=λdl，E＝??dl?0r 2?l4??0r其中体密度 ?＝lim?V?0?QdQ? 单位C/m3； ?VdV?QdQ? 单位C/m2； ?SdS?QdQ? 单位C/m。 ?ldl 面密度 ?＝lim?S?0线密度 ?＝
lim?l?0五、 电场强度的计算：
???Qir1．离散型的：E＝?Ei＝? 34??0r2．连续型的：E＝dE????dq?0?4??0r2r
空间各点的电场强度完全取决于电荷在空间的分布情况。如果给定电荷的分布，原则上就可以计算出任意点的电场强度。计算的方法是利用点电荷在其周围激发场强的表达式与场强叠加原理。计算的步骤大致如下：
? 任取电荷元dq，写出dq在待求点的场强的表达式；
? 选取适当的坐标系，将场强的表达式分解为标量表示式； ? 进行积分计算；
? 写出总的电场强度的矢量表达式，或求出电场强度的大小和方向； ? 在计算过程中，要根据对称性来简化计算过程。 例1． 电偶极子（Electric Dipole）的场强。 1. 几个概念：
（1）两个电量相等、符合相反、相距为l的点电荷+q和-q，若场点到这两个电荷的距离比l大得多时，这两个点电荷系称为电偶极子。
?（2）从-q指向+q的矢量l称为电偶极子的轴。
??（3）p?ql称为电偶极子的电偶极矩
2. 电偶极子的电场强度
（1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度
如图所示，取电偶极子轴线的中点为坐标原点O，沿极轴的延长线为Ox轴，轴上任意点A距原点的距离为x，则正负电荷在点A产生的场强为 E???1q4??0?x?l/2?2?i
??1q E??? i24??0?x?l/2?由叠加原理可知点A的总场强为
???E＝E?＋E－?????1?qqq?2xl－i ?22??i＝2?4??0??x?l/2?2?x＋l/2?2?4??0???x?l/4???222当x>>l时，x?l/4?x
??12lq?12p所以E＝ i?4??0x34??0x3即：在电偶极子轴线延长线上任意点的电场强度的大小与电偶极子的电偶极矩大小成正比，与电偶极子中心到该点的距离的三次方成反比；电场强度的方向与电偶极矩的方向相同。 （2）电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度
如图所示，取电偶极子轴线中点为坐标原点，因而中垂线上任意点的场强为
? E???qr?4??0r?3 和
??qr－ E－?－34??0r－从图中可以看出
?l??r??i?yj ?2l??? r??i?yj
2 r??r??r?所以E??
y2?(l/2)2
??l????i?yj? 3?4??0r??2?q?l????i?yj?
4??0r?3?2?qq? E???因而总的场强为
q?l????l????i?yj－i?yj??3?3?4??0r?2?4??0r?2???1qli1p
＝－ ?－4??0?2l2?3/24??0?2l2?3/2???y?4???y?4??????2???E＝E?＋E??当y>>l时， y2??l/2??y2 故
??1p E?－4??0y3即：在电偶极子中垂线上任意点的电场强度的大小与电偶极子的电偶极矩大小成正比，与电偶极子中心到该点的距离的三次方成反比；电场强度的方向与电偶极矩的方向相反。
例2．试计算均匀带电圆环线上任一给定点P处的场强。该圆环半径为R，周长为L，圆环带电量为
q，P点与环心距离x。
解：在环上任取线元dl，其上电量为 dq??dl?qdl L生场强大小为
P点与dq距离r，dq与P点所产
dE?dq1qdl ?224??0r4??0Lr1 方向如图所示。把场强分解为平行与环心轴的分量dE//和垂直于环心轴的分量dE⊥，则由于对称性可知，垂直分量互相抵消，因而总的电场为平行分量分总和： E?dE//?dEcos?
其中θ为dE与x轴的夹角。积分上式，有
???E??qdl1qcos??cos? ??dl4??0Lr24??0Lr2?11qcos?qcos? ??L ?4??0Lr24??0r2 因为 cosθ=R/r ? E ?
qxqx ?33224??0r4??0(R?x)232
22当x>>R时，(R?x)?x3 则 E?q4??0x2
则环上电荷可看作全部集中在环心处的一个点电荷。
例3．薄圆盘轴线上的场强。设有一半径
薄圆盘，其电荷面密度为σ。求通过线上任一点的场强。
解：把圆盘分成许多半径为r、宽度为dr
为
dq=σds=σ2πrdr
它在轴线x处的场强为 dE?为R、电荷均匀分布的盘心、垂直与盘面的轴的圆环，其圆环的电量
xdq?xrdr ?223/2223/22?0(x?r)4??0(x?r)R 由于圆盘上所有的带电的圆环在场点的场强都沿同一方向，故带电圆盘轴线的场强为
E???xrdr?x＝2?0(x2?r2)3/22?00?1??2??x??
22?x?R?1如果x< 1x2?1x?R22?1x2 于是电场强度为 讨论： E＝? 2?0x?0，则E? 如果将两块无限大平板平行放置，板间距离远小于板面线度，当两板带等量异号电荷，面密度为σ时，两板内侧场强为： R2?x2带电平板附近的电场分布，为匀强电场，方向如图。（1）当x??R时，?,为无限大均匀2?0E?EA?EB?两板外侧场强为：E?EA?EB?0 ?????2?02?0?0 ?R2??当x??R时，?1?x2????（2） 1?21R2?1?,于是有2x2 ???R2??q?E?1???1???2?22?0???2x??4??0x 式中q?σ?R2为圆盘面所带总电量。上式表明，在远离带电平板处的电场相当于电荷集中于盘心的点电荷在该处产生的电场。 （3）均匀带电薄圆环的轴线上任一点的场强分布。或无限大均匀带电平板的中间有一圆孔的情况。 例4．若电荷均匀地分布在球面上，求球面上某点的电场强度。 解：已知圆环电荷在其几何轴线上产生的电场强度为 ?E?qx4??0(R2?x2)32?r0 设电荷Q均匀分布在半径为R的球面上，求P 点的电场强度。 过P作直径，在作垂直于该直径的把球面分成无穷多个圆环，圆环所带的电量为 dq?2??R2sin?d? 其中 ??Q/4?R2 dqR?Rcos?4??0?sin??2??R?Rcos??2在P点产生的电场强度为 dE?积分 ??3/2??sin?d? 2?0221?cos?
高中物理竞赛 电场竞赛自招内容讲解 电场强度叠加原理
