高三数学测试题
一选择题:
2?x?1.已知集合A?yy?2x,B??xy?log??,A?B?( D ) 2?2?x???(A)?0,2? (B)?1,2? (C)???,2? (D) ?0,2?
3x2?lg(3x?1)的定义域是 ( B ) 2.函数f(x)?1?x(A)(?,??) (B)(?,1) (C) (?,) (D)(??,?) 3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A )
(A)y??x3 ,x?R (B)y?sinx ,x?R (C)y?x ,x?R (D) y?()x ,x?R
634.已知f(x)是周期为2的奇函数，当0?x?1时，f(x)?lgx.设a?f(),b?f(),
525c?f(),则( D )
2(A)a?b?c (B)b?a?c (C)c?b?a (D)c?a?b
x?1??3,x?05. 已知函数f(x)??x，若f(x0)?3,则x0的取值范围是( A )
??log2,x?0131311331312(A)x0?8 (B) x0?0或x0?8 (C)0?x0?8 (D) x0?0或0?x0?8 6.若x?是f(x)?3sin?x?cos?x的图象的一条对称轴,则?可以是( C ) 6(A)4 (B) 8 (C) 2 (D)1
?(3a?1)x?4a,x?1是(??,??)上的减函数，则a的取值范围是( C )
logx,x?1a??7.已知f(x)??111(A)(0,1) (B)(0,) (C)[,)
373121(D)[,1)
78.给定函数:①y?x,②y?log1(x?1),③y?x?1,④y?2x?1,其中在区间(0,1)上单调递
2减的函数的序号是( C )
(A)①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④
21
9.设a?0,b?0.若3是3a与32b的等比中项,则?的最小值为( A )
ab1(A)8 (B) 4 (C) 1 (D)
410.在进行一项物理实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( C ) (A)34 (B) 48 (C) 96 (D)144
??11.已知命题p:存在x?(?,),cosx?1; 命题q:?x?(??,0),2x?3x , 则下列命题为真命题
22的是( D )
(A)p?q (B) (?p)?q (C) (?p)?q (D)
2p??q
12.若p:????k?,k?z,q:f(x)?sin(?x??)(??0)是偶函数,则p是q的( A )
(A)充分必要条件 (B)充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也必要条件
二填空题
13.已知P??xx?a?,Q??yy?sin?,??R?,若P?Q,则实数a的取值范围是 ; a?1
m?2x?114. 已知f(x)?是R上的奇函数,则m= ;m?1 x1?215.已知双曲线xy2??1的右焦点4b2F,与抛物线y2?12x的焦点重合,过双曲线的右焦点F作其
渐近线的垂线,垂足为M,则点M的纵坐标为 ; ?25
316.已知p:f(x)?(2a?6)x在R上是单调减函数;q:关于x的方程x2?3ax?2a2?1?0的两根均大于3,若p,q都为真命题,则实数a的取值范围是 ;3?a,?三.解答题
B＋C7
17. 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且4sin22－cos2A＝2. (1)求∠A的度数；
(2)若a＝3，b＋c＝3，求b、c的值. B＋CπA
解 (1)∵ B＋ C＝ π－ A，即2＝ 2－ 2， B＋C772A由4sin2－cos2A＝ 2，得4cos2－ cos2A＝ 2，
2
7 27
即2(1＋ cosA)－ (2cos2A－1)＝ 2，整理得4cos2A－ 4cosA＋1＝ 0， 1
即(2cosA－1)2＝ 0.∴ cos A＝ 2， 又0° 2bc， b2＋c2－a21 即2bc＝ 2，∴b2＋ c2－bc＝ 3， 又b＋ c＝ 3， ② ③ ④ ① ∴ b2＋ c2＋ 2bc＝ 9. ① － ③ 整理得：bc＝ 2. ?b＝1， 解②④联立方程组得? ?c＝2， ?b＝2，或? ?c＝1. 18. 设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3，…. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式； (Ⅲ)设cn=n(3-bn)，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(Ⅰ)∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2 , ∴a1=1 ∵Sn=2-an即an+Sn=2 , ∴an+1+Sn+1=2 两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0 即an+1-an+an+1=0, 2an+1=an ∵an≠0 ∴ an?11?(n∈N*) an21212 所以，数列{an}为首项a1=1，公比为的等比数列.an=()n?1(n∈N*) (Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，…) ∴bn+1-bn=()n-1 得b2-b1=1 121b4-b3=()2 212b3-b2= …… bn-bn-1=()n-2(n=2，3，…) 将这n-1个等式累加，得 bn-b1=1+?()2?()3???()n?212121212121211?()n?112??2?2()n?1 121?2又∵b1=1，∴bn=3-2()n-1(n=1，2，3，…) (Ⅲ)∵cn=n(3-bn)=2n()n-1 ∴Tn=2[()0+2()+3()2+…+(n-1)()n-2+n()n-1] ① 111111Tn=2[()+2()2+3()3+…+(n-1)()n?1?n()n] ② 222222111111①-②得：Tn?2[()0?()1?()2???()n?1]?2n()n 22222211?()n2?4n(1)n?8?8?4n(1)n=8-(8+4n)1(n=1，2，3，…) Tn=412n222n1?2121212121212而 19. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形. 平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5. （Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC； （Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求解: (1) ∵AA1C1C为正方形, ?A1A?AC, BD的值. BC1又面AA1C1C⊥面ABC, 又面AA1C1C∩面ABC=AC ∴AA1⊥平面ABC. (2)∵AC=4,AB=3,BC=5, ∴AC2?AB2?BC2,∴∠CAB=90?,即AB⊥AC, 又由(1) ∴AA1⊥平面ABC.知?A1A?AB, 所以建立空间直角坐标系A-xyz, 则A1(0,0,4), C1(4,0,4), B1(0,3,4),B(0,3,0) 设面A1CB1与面BC1B1的法向量分别为n?(x,y,z),m?(a,b,c), ??n?A1C1?03?4x?0n?(0,1,), 由?,得?,令y?1,则 4??3y?4z?0?n?A1B?03m?(,1,0), 同理, 4cos?n,m??n?mn?m?12516?16, 2516. 25由图知,所求二面角为锐二面角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为 (3)证明: 设D(x,y,z), ,则AD?(x,y,z),A1B?(0,3,?4),BC1?(4,?3,4), 因为C1,D,B三点共线,所以设 BD??BC1,即(x,y?3,z)??(4,?3,4), ?x?4??所以?y?3??3?, (1) ?z?4??由AD?A1B?0得3y?4z?0 (2) 由(1)(2)求得??9364836364836, 即D(,,), ,x?,y?,z?25252525252525BD9=. BC125故在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，且 20. 已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c 过曲线y?f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1 。 （1）若函数f(x)在x??2处有极值，求f(x)的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数y?f(x)在[－3，1]上的最大值； （3）若函数y?f(x)在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围 ?f'(1)?3解：（1）f?(x)?3x2?2ax?b.由已知 ? ?f(1)?3?1?1?f'(?2)?0??3?2a?b?3故??1?a?b?c?3?1?1 ?12?4a?b?0?① ② ③ 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 32 ∴f(x)?x?2x?4x?5. （2）f?(x)?3x2?4x?4?(3x?2)(x?2). 当?3?x??2时,f?(x)?0;当?2?x?2时,f?(x)?0; 32当?x?1时,f?(x)?0.?f(x)极大?f(?2)?13 3又f(1)?4,?f(x)在[－3，1]上最大值是13。
高三数学测试题(含答案)
