2-1概念
2-1-1连续时间系统的时域模型
我们的系统分为两种系统,连续时间系统和离散时间系统.其实从数学上来分析,离散时间系统从数学上来讲的话呢,离散系统时间分析可能更简单一点,可是大家对离散时间系统没有什么概念,举个例子,大家到现在你们接触的所有的系统,比如说电的,它处理的信号是电压或者电流,电压信号也好,电流信号也好,都是连续时间信号.
怎么打开冰箱门,就是建立数学模型.就是在你的物理模型中找出数学模型.找出模型的目的是什么,我好分析,好计算.各种不同的物理模型它有各种不同的找数学模型的方法.对我们电系统而言,非常简单,一个叫kcl定理,一个叫kvl定理.这个歌定理在你们的电路分析基础当中应该讲的都很多了.通过这样的一个数学模型我就能抽出系统的这样的一个方程. 它说对线性系统而言的话,它抽出来的方程往往是一个线性常系数微分方程. 1. 你可以验证一下,它满足我们的齐次性和叠加性; 2. 第二个,它是常系数的,常系数指的是什么呢?所有关于响应r的关于激励e的,前面的系数都是一个常数.跟时间没有关系.这样的一个系统肯定是线性．．的非时变的一个系统. 当然来说光有这个方程还不行,你还得给我一个初始条件.这是我们解微分方程和中学里面解其他方程很不一样的地方.一元二次方程,给定的方程,你就可以解出来.但是微分方程就不一样.我们给的初始条件是关于时间的.响应一阶导数的数值,二阶导数的数值,一直到n-1导数的数值,都是跟时间相关的.我们这样的条件叫什么,叫初始条件,指的是零时刻的系统的输出和系统输出的各阶导数.当然这只是初始条件的形式之一,我也可以改变输出值,比如说,零时刻的输出值,1时刻的输出值,2时刻的,3时刻的……但是你要满足一个条件,你是几阶的微分方程,你就得给我几个初始条件. ? 所以一旦有了微分方程以后,一般来讲的话,除了方程本身以外,还需要的就是初始条件.是几阶微分方程,我就需要几个初始条件, ? 微分方程的阶又是怎么来的.是看我的这个待求的响应r(t)的最高的微分次数,
2-1-2微分方程的经典解法
所以求解的过程,把大象放进去的过程往往是最复杂的.它说有很多种解法.
它把响应分成两个部分来解,一种叫通解,一种叫特解.
一部分是通解,一部分是特解. 通解我只看方程的这边,我通过看方程的这边,我们可以得到系统的”特征方程”.通过这个特征方程,求出方程的两个特征跟.有了特征根以后,我就知道方程所谓的”通解”.有个1,肯定有个et在里面,有个-4,肯定有个e-4在里面,这两个是求和的关系.不仅是求和,这两个的大小,我还可以随意调整,C1 C2,C1C2到底等于多少,不知道待会儿再说,所谓的通解.为什么叫通解,因为这个解根本就没看你激励信号,无论你激励信号是什么样的东西,我都是它.通用的. 除了通解以外,还有另外一个东西叫特解.既然你没有考虑激励信号,那么我就-2t得考虑了.既然你这里有一个e,我估计我的响应里面也该有这么个东西.就是可能大小不太一样.所以它说我的特解是Ae-2t,这就是特解.然后整个的响应就等于r=r通+r特. 相不相信在于你能不能找到那个合适的C1 C2和A.我得去找啊,找这三个东西等于多少.找什么呢,我得代条件嘛.第一个,r(0)=1,r’(0)=1,但是2个方程我有3个未知数, 1) 找谁呢?找方程本身.我把整个这个解代到方程里面. 2) 这个等式要对任意的t成立,不像初始条件,只要一个t就成了. 再整理一下,我们按照什么东西来归纳整理呢.会是个xxx et,反正是跟C1有关系的,…其实后面你会看到,它具体等于什么,其实不care,这一项跟C2有关系,还有第3项,跟A有关系,我们要好好地去看一看,这个式子要等于0.要求对所有的t都等于0.对于特解,你会发现,这一项会自然成立的,这一项也是会自然成立的,就是这一项,唯一的可能性是第三项等于0.知道了A,这个方程,我就可以解了吧. 我的这个C肯定满足我的初始条件,肯定也满足我的这个方程. 通解和特解在工程中有另外两个名词来描述它,通解部分往往称之为这个系统．．．．．．的自由响应部分.也就是说即使在没有你激励信号作用的前提下,我也能看到．．．．．．．et,e-4t这样的响应信号.所以我们给它个名称,叫做自由响应.特解部分是跟我激励信号相关的.我们给它个名称,叫做受迫响应.它是由于在我的激励的作用．．．．下我得到的响应,因为有这样的激励,所以我会产生这样的响应分量.一个叫自由响应,一个叫受迫响应.
2-1-3微分方程的近代时域解法简介
在系统没有输入信号的情况下,仅仅由系统的初始储能和初始状态引发的那部分响应.
你这个系统没有初始储能,或者说它的初始状态r(0) r’(0)都等于0.在这个初始条件下,仅仅由初始信号引起的一部分响应叫做零状态响应.任何响应都能分成零输入响应和零状态响应两部分.然后分别求解以后,我可以得到系统的全响应.这种方法说穿了,是把我们原来的微分方程拆成两个微分方程.
第一个,是对应于零状态响应的微分方程,方程的形式跟原来完全一样,但是它所对应的初始条件不一样,我不管你给我的是什么初始条件,我用的初始条件都是0,
因为输入信号是0了吗,所以你微分方程的这一部分就没有了,所以我对应的微分方程就是这个.这个叫线性 常系数 齐次微分方程.这个时候就别把这个初始条件丢了,再丢的话,就没人考虑初始条件了.我既然在这边简单了,这边就复杂起来了,我的初始条件是你原来给我的那套初始条件.
第二章 连续时间系统的时域分析
