2024年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 含参数的分类讨论
例1 已知函数f(x)?ax3?12x，导函数为f?(x)， （1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若f?(1)??6,求函数f(x)在[—1，3]上的最大值和最小值。 【答案】略
【解析】（I）f?(x)?3ax2?12?3(ax2?4)，（下面要解不等式3(ax2?4)?0，到了分类讨论的时机，分类标准是零）
当a?0时,f?(x)?0,f(x)在(??,??)单调递减； 当a?0时,当x变化时,f?(x),f(x)的变化如下表：
x (??,?f?(x) f(x) + 2) a?0 2 a(?— 22,) aa2 a0 极小值 (+ 2,??) a极大值 此时，f(x)在(??,?2222,)单调递减； ),(,??)单调递增， 在(?aa6a （II）由f?(1)?3a?12??6,得a?2.
由（I）知，f(x)在(?1,2)单调递减,在(2,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底
【思维点拨】分类讨论的难度是两个，（1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例1 已知函数f(x)?13x?x2?ax?5， 若函数在[1,??)上是单调增函数，求a的取值范围 31
【答案】
【解析】f'(x)?x2?2x?a,依题意在[1,??)上恒有y??0成立， 方法1：
函数f'(x)?x2?2x?a，对称轴为x??1，故在[1,??)上f'(x)单调递增，故只需f'(1)?0即可，得
a??3，所以a的取值范围是[3,??)；
（-x2-2x）（-x2-2x）方法2： 由y??x2?2x?a?0，得a?-x2-2x，只需a?max，易得max??3，因此
，所以a的取值范围是[3,??)； a??3，
【易错点】本题容易忽视f'(1)?0中的等号 【思维点拨】已知函数f(x)在区间(a,b)可导：
1. f(x)在区间(a,b)内单调递增的充要条件是如果在区间(a,b)内，导函数f?(x)?0，并且f?(x)在
(a,b)的任何子区间内都不恒等于零；
2. f(x)在区间(a,b)内单调递减的充要条件是如果在区间(a,b)内，导函数f?(x)?0，并且f?(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于零； 说明：
1.已知函数f(x)在区间(a,b)可导,则f?(x)?0在区间内(a,b)成立是f(x)在(a,b)内单调递增的必要不充分条件
2.若f(x)为增函数，则一定可以推出f?(x)?0；更加具体的说，若f(x)为增函数，则或者f?(x)?0，或者除了x在一些离散的值处导数为零外，其余的值处都f?(x)?0；
3. f?(x)?0时，不能简单的认为f(x)为增函数，因为f?(x)?0的含义是f?(x)?0或f?(x)?0，当函数在某个区间恒有f?(x)?0时，也满足f?(x)?0,但f(x)在这个区间为常函数. 题型三 方程与零点
1．已知函数f?x??ax?3x?1，若f?x?存在三个零点，则a的取值范围是（ ）
32A. ???,?2? B. ??2,2? C. ?2,??? D. ??2,0???0,2? 【答案】D
【解析】很明显a?0 ，由题意可得： f'?x??3ax?6x?3x?ax?2? ，则由f'?x??0 可得
2x1?0,x2?2 ， a2
由题意得不等式： f?x1?f?x2??81242 ，即： ??1?0?1,a?4,?2?a?2 ， 222aaa综上可得a的取值范围是 ??2,0???0,2?.本题选择D选项.
【易错点】找不到切入点，“有三个零点”与函数的单调性、极值有什么关系？挖掘不出这个关系就无从下手。
【思维点拨】函数零点的求解与判断
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 题型四、导数证明不等式
例1 当x??0,??时，证明不等式sinx?x成立。 【答案】略
【解析】设f(x)?sinx?x,则f'(x)?cosx?1.
∵x?(0,?),∴f'(x)?0. ∴f(x)?sinx?x在x?(0,?)内单调递减，而f(0)?0. ∴f(x)?sinx?x?f(0)?0, 故当x?(0,?)时，sinx?x成立。 【易错点】不能顺利把不等式转化为等价的函数、方程问题
【思维点拨】注意观察不等式的结构，选择合理的变形，构造函数，把不等式问题转化为函数的极值、最值问题。
【巩固训练】
题型一 含参的分类讨论
1. 已知函数f(x)?131x?(2?a)x2?(1?a)x(a?0). 32 （I）求f(x)的单调区间； （II）若f(x)在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。 【答案】略
【解析】（I）f?(x)?x2?(2?a)x?1?a?(x?1)(x?1?a).
当a?0时,f?(x)?(x?1)2?0恒成立, 当且仅当x??1时取“=”号，f(x)在(??,??)单调递增。 当a?0时,由f?(x)?0,得x1??1,x2?a?1,且x1?x2,
3
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