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大学
2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题
数学分析卷
一、（共 30 分）判断题
1、若函数f(x)在?a,b?上Riemann可积，则 ?f(x)?在?a,b?上Riemann也可积；
22、若级数?an收敛，则级数?an也收敛；
n?1n?1??3、任何单调数列必有极限； 4、数列??1?的上、下极限都存在；
n??5、区间 ?a,b? 上的连续函数必能达到最小值； 6、sinx在整个实轴上是一致连续的；
7、若函数f?x,y?沿着任何过原点的直线连续，则f?x,y?在?0,0?连续； 8、若函数f?x?在点x0取极小值，则f??x0?=0； 9、若f??x0?=0，f???x0??0，则f?x?再点x0取最大值； 10、向量场?x2?y2,y2?z2,z2?x2?是无源场。 二、（共 20 分）填空题
1、设u?sin(x?y)(x?y?z)，则gradu=( );
??2、设F?(x?y,y?z,z?x)，则divF=(
);
??rotFF?(x-yz,y?zx,z?xy)3、设，则=( );
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4、设s表示单位球面x2?y2?z2?1，则第一型曲边梯形??x2ds=(
s);
?nn2?1?5、数列??-1?的下极限为( 2?n??三、（共 20 分）计算下列极限
1?n?1、lim??2006?；
n???k?1k?n1);
2、lim1x?0x?1?2x?31?3x；
?3、n??11?lim?n?2006?n?2007?n?1n?1；
x2dx； 4、lim01?x?x2n???1四、（共 20 分）判断下列级数的敛散性
2006n1、?nn； 2007?2005n?1?un?1n2n?1,2???； ?2、?un，其中un?0，2，u?n?1?n?1n?五、（10 分）设函数f(x)在?0,1?两次连续可微，满足f(0)?f(1)?0且
?f?x?dx?0。
01证明：存在???0,1?使得f??????0。 六、（10 分）计算第二型曲线积分
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3x4ydx??c3x2?4y23x2?4y2dy
其中C为单位圆周x2?y2?1，方向为顺时针方向。 七、 （10 分）证明，对任意 x?0，都有
x3sinx?x?
6八、 （10 分）设?,?,a,b均为常数，且对任意x都有
??x???sinx?ax?b
证明：????a?b?0
九、（10 分）证明，不存在?0，??上的正的可微函数f?x?，满足f??x??十、（10 分）试构造区间?0,1?上的函数序列?fn?x??，具有如下性质： (1)对每个n，?fn?x??是?0,1?上的正的连续函数； (2)对每个固定的x??0,1?，limfn?x??0；
n?? f?x??0。
(3)lim?fn?x?dx???.
n??01高等代数与空间解析几何卷
一、（共 32 分）填空
1、平面上的四个点?xi,yi??i?1,2,3,4?在同一个圆上的充要条件为 _____ 。（要求用含有 xi,yi的等式表示）；
2、设方阵A只与自己相似，则A必为 _____ ；
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?a1?3、设A??a2?a?3b1b2b3c1??xyzc2?为可逆矩阵，则直线与直线 ??a1?a2b1?b2c1?c2c3??xyz的位置关系为 。（要求填写相交、平行、重合、??a2-a3b2?b3c2?c3异面四者之一）；
4、设A???1,?2,?3,?4?为四阶正方矩阵，其中?1,?2,?3,?4均为四维列向量：
???1?2?2??3，?1??2?3?3，且?2，?3，?4线性无关。求线性方程组AX??的通解 。
二、（16 分）求二次曲面2x2?y2?z2?4xz?2x?4y?6z?12?0的主方向； 三、（17 分）设V为n维欧式空间，u1,u2???,un与v1,v2,???,vn为V中向量，
u1,u2???,un线性无关，且对任意的i,j?i,j?1,2,,???,n?均有uiuj?vivj。证明，必有
V上的正交变换?使得
??ui??vi?i?1,2,3,???,n?
四、（17 分）设 V为数域?上的n维向量空间，?，?均为V上的线性变换，且满足???????0。证明：?????。
五、（17 分）设A为实对称矩阵，证明，必有实对称矩阵B，使得A?B为正定矩阵。
六、（17 分）设V为数域?上的2n维向量空间，?为V上的线性变换，且
Ker????V?。
证明：存在V的一个适当基底及Jordan型矩阵A，使得?在该基底下恰好对应矩阵A。
七、（17 分）设V为实数域上的全体n阶方阵在通常的运算下所构成的向量空
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间，?为V上的线性变换，对任意的A，??A??AT。 1、求?的特征值；
2、对于每一个特征值，求其特征子空间；
3、证明V恰为?的所有特征子空间的直接和。
八、（17 分）设A?aijaii???n?n为n阶实方阵，若对任意的i?i?1,2,???,n?均有
i?1,j?1?anij，则称A为对角占优矩阵。证明，对角占优矩阵比为可逆矩阵。
大学
2007 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
数学分析卷
一、（共 30 分）判断题
1、Riemann函数在任何有限区间上都是Riemann可积的；
2、若无穷积分?f?x?dx收敛，则无穷积分?f?x?dx也收敛；
00??3、任何单调递增且有下界的数列必有极限； 4、有界数列的上、下极限都存在； 5、连续函数一定是有界函数； 6、x在整个实轴上是一致连续的；
7、若函数f?x,y? 在?0,0?处的两个偏导数，则f?x,y?在?0,0?连续； 8、sin1在?0,1?有无穷多个极大极小值点； x.. .. .. ..
2006—2013年吉林大学数学分析、高等代数考研试题与答案
