北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学学科测试（理工类）
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A??x|log2x?1?，B??x|x≥1?，则AB?（ ）
A．(1，2] B．(1，??) C．(1，2) D．[1，??) 2.在△ABC中，AB?1，AC?2，?C??6，则?B?（ ）
A．
???3??4 B．4或2 C．4 D．4或3?4 3.执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（ ）
A．10 B．13 C．40 D．121
4.在极坐标系中，直线l：?cos???sin??2与圆C：??2cos?的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心 C.相切 D．相离
5.如图，角?，?均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则OA?OB?（
）
A．sin(???) B．sin(???) C.cos(???) D．cos(???)
x6.已知函数f(x)????2，x≥a，2，x?a则“a≤0”是“函数f(x)在[0，??)上单调递增”的（ ）
??xA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（ ） A．4 B．5 C.6 D．7
8.若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足
112x??，则称x1，x2，x3成一个“?等1x2x3差数列”.已知集合M??x|x≤100，x?Z?，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“?等差数列”的个数为（ ）
A．25 B．50 C.51 D．100
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9.计算
1(1?i)2? ． 10.双曲线x2?y2??（??0）的离心率是 ；该双曲线的两条渐近线的夹角是 .
11.若(x3?1x)n展开式的二次项系数之和为8，则n? ；其展开式中含1x3项的系数为 .
（用数字作答）
12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的底面和三个侧面中，直角三角形的个数是 .
?y≥013.已知不等式组??x?y≤2在平面直角坐标系xOy中所表示的平面区域为D，D的面积S，则下面结
??y?1≥k(x?1)论：
①当k?0时，D为三角形；②当k?0时，D为四边形；
③当k?13时，S?4；④当0?k≤13时，S为定值.
其中正确的序号是 ．
14.如图，已知四面体ABCD的棱AB∥平面?，且AB?2，其余的棱长均为1.四面体ABCD以AB 所在的直线为轴旋转x弧度，且始终在水平放置的平面?上方.如果将四面体ABCD在平面?内正投影面积看成关于x的函数，记为S(x)，则函数S(x)的最小值为 ；S(x)的最小正周期为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知函数f(x)?2sinx(sinx?cosx)?a的图象经过点(?2，1)，a?R.
（1）求a的值，并求函数f(x)的单调递增区间；
（2）若当x?[0，?2]时，不等式f(x)≥m恒成立，求实数m的取值范围.
16.某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分.每项评分最低分0分，最高分100分.每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：
请根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；
（2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为?，求随机变量?的分布列和数学期望；
（3）记该市26个景点的交通平均得分为x1，安全平均得分为x2，写出x1和x2的大小关系.（只写结果） 17. 如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PBC?平面ABCD.△PBC是等腰三角形，且PB?PC?3.在梯形
ABCD中，AB∥DC，AD?DC，AB?5，AD?4，DC?3
（1）求证：AB∥平面PDC； （2）求二面角A?PB?C的余弦值；
（3）在线段AP上是否存在点H，使得BH?平面ADP？请说明理由. 18. 已知函数f(x)?xex?ax2?2ax（a?R）
（1）若曲线y?f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为3x?y?0，求a的值；
（2）当?12≤a?0时，讨论函数f(x)的零点个数.
19. 已知抛物线C:y2?2x.
（1）写出抛物线C的直线方程，并求出抛物线C的焦点到准线的距离；
（2）过点(2，0)且斜率存在的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，且点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴交于点M. 1）求点M的坐标；
2）求△OAM与△OAB面积之和的最小值.
20. 若无穷数列?a?满足：存在ap?aq（p，q?Ν*，p?q），并且只要ap?aq，就有ap?i?taq?I(t为常数，i?1，2，3，）
，则成?an?具有性质T. （1）若?an?具有性质T，且t?3，a1?4，a2?5，a4?1，a5?5，a7?a8?a9?36，求a3；
（2）若无穷数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?2n?b（b?R），证明存在无穷多个b的不同取值，使得数列?an?具有性质T；
（3）设?bn?是一个无穷数列，数列?an?中存在ap?aq（p，q?N*，p?q），且an?1?bncosan（n?N*），求证：“?bn?为常数列”是“对任意正整数a1，?an?都具有性质T”的充分不必要条件.
【全国市级联考word】北京市朝阳区2024届高三二模数学(理)试题
