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考点突破·素养提升
素养一 数学抽象
角度1 平均变化率与导数的概念
【典例1】(1)已知函数f(x)=x2+2x-5的图像上的一点A(-1，-6)及邻近一点B(-1+Δx，-6+Δy)，则=________.
(2)利用导数的定义求函数f(x)=-x2+3x在x=2处的导数. 【解析】(1)===Δx. 答案：Δx
(2)由导数定义知，f(x)在x=2处的导数 f′(2)=
，
f(2+Δx)-f(2)=-(2+Δx)2+3(2+Δx)-(-22+3×2)=-(Δx)2-Δx， 所以f′(2)=【类题·通】
1.区分平均变化率与顺时变化率的异同
=
(-Δx-1)=-1.
平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢.可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义.
2.定义法求函数y=f(x)在x=x0处导数的步骤 (1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0). (2)求平均变化率=. (3)取极限，得导数f′(x0)=.
【加练·固】
1.已知函数y=f(x)=sin x，当x从变到时，函数值的改变量Δy等于
( A.- B. C. D. 【解析】选B.Δy=f
-f
=sin -sin =. 2.(2019·平罗高三检测)已知函数f(x)=e2x，则= ( )
A.1 B.0 C.e2 D.2e2 【解析】选D.因为f′(x)=2e2x， 所以
=f′(1)，所以f′(1)=2e2.
角度2 导数的几何意义
【典例2】(1)已知函数f(x)=excos x-x. 求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程.
)
【解析】因为f(x)=excos x-x，
所以f′(x)=ex(cos x-sin x)-1，f′(0)=0.
因为f(0)=1，所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=1. (2)设函数f(x)=ax+
(a，b∈Z)，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
y=3.求f(x)的解析式. 【解析】f′(x)=a-，于是
解得或
因为a，b∈Z，所以f(x)=x+【类题·通】 求切线方程的两种情况
.
(1)求曲线在点P处的切线，则表明点P是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程.
(2)求曲线过点P的切线，则点P不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程. 【加练·固】
(2019·济南高三检测)已知曲线f(x)=ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为________.
【解析】因为f(x)=ln x，x∈(0，+∞)， 所以f′(x)=.
设切点P(x0，ln x0)，
则切线的斜率为k=f′(x0)==kOP=所以ln x0=1，x0=e， 所以k==. 答案：
素养二 数学运算 角度 导数的计算
【典例3】求下列函数的导数： (1)y=x2-ln x+ax+π. (2)y=3(3)y=
+4.
.
，
【解析】(1)y′=(x2-ln x+ax+π)′
=(x2)′-(ln x)′+(ax)′+π′=2x-+axln a. (2)y′=(3=
′+
′==-.
+4
)′=(3′=4
+6
=4
)′+(4+6
. )′
(3)y′==
【类题·通】
有关导数的计算应注意以下两点
(1)熟练掌握公式：熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则.
(2)注意灵活化简：当函数式比较复杂时，要将函数形式进行化简，化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式，由于在导数的四则运算公式中，和与差的求导法则较为简洁，所以化简时尽可能转化为和、差的形式，尽量少用积、商求导.
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考点突破·素养提升 第二课
