坐标系与参数方程
1． 直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标 系中取相同的长度单位．如图，设M是平面的任意一点，它的直 角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 ρ2＝x2＋y2??x＝ρcos θ??
?，?. y??y＝ρsin θ??tan θ＝x?x≠0?
2． 直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0
－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
π
(3)直线过点M(b，)且平行于极轴：ρsin θ＝b.
23． 圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为
2ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r：ρ＝r； (2)圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；
π
(3)圆心位于M(r，)，半径为r：ρ＝2rsin θ.
24． 直线的参数方程
??x＝x0＋tcos α，
过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为?(t为参数)．
?y＝y＋tsin α?0
5． 圆的参数方程
??x＝x0＋rcos θ，
圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为?(θ为参数，0≤θ≤2π)．
?y＝y0＋rsin θ?
6． 圆锥曲线的参数方程
??x＝acos θ，x2y2
(1)椭圆2＋2＝1的参数方程为?(θ为参数)．
ab?y＝bsin θ?
2??x＝2pt
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为?.
?y＝2pt?
真题感悟
1． (2013·)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．
??x＝t
2． (2013·)设曲线C的参数方程为?(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴2?y＝t?
的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
??x＝acos φ
3． (2013·)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为?(φ为参数，a>b>0)，在
?y＝bsin φ?
极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为π2极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin (θ＋)＝m(m为非零常数)与ρ＝b.
42若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________． 4． (2011·)在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点
??x＝3＋cos θ，
A，B分别在曲线C1：?(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则AB的最小值
?y＝4＋sin θ?
为________．
5． (2012·)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：?
?x＝t＋1，?
??y＝1－2t
(t为参数)与曲线C2：
?x＝asin θ，?
?(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________. ?y＝3cos θ?
6.[2014·卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2
θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________．
2
x＝2＋t，
2
7．[2014·卷] 在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为
2
y＝1＋t
2
________．
???
8． [2014·卷]
ππ
θ－6?＝1的距离C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点?2，?到直线ρ sin???6??是________．
题型与方法
题型一 极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化
??x＝t，π?θ＋? 例1 已知直线l的参数方程：(t为参数)和圆C的极坐标方程：ρ＝22sin??4???y＝1＋2t
(θ为参数)．
(1)将直线l的参数方程和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l和圆C的位置关系．
?x＝2t，?
变式训练1 已知直线l的参数方程是?(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝42
?y＝4t＋a?
πθ＋?. cos??4?
(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)若圆上有且仅有三个点到直线l的距离为2，数a的值．
题型二 曲线的极坐标方程
例2 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐
π
θ－?＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点． 标方程为ρcos??3?
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； (2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
极坐标与全参数方程
