2020届郑州市高中毕业年级第一次质量预测
理科数学试题卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合A??x?N|x|?2?，B?yy?1?x2，则A?B的子集个数为
A.2 B.4 C.8 D.16
1?i2.复数z?在复平面内对应的点位于
iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.郑州市某一景区为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
??根据该折线图，下列结论错误的是 A.月接待游客逐月增加 B.年接持游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
1
1114.定义在R上的函数f(x)?()|x?m|?2为偶函數，a?f(log2)，b?f(()3)，c?f(m)，则
232A.c?a?b B.a?c?b C.a?b?c D.b?a?c
5.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 161832A. B. C.10 D. 5556.已知向量a与b夹角为
?，且|a|?1，|2a?b|?3，则|b|? 3 D.
3 2A.3 B.2 C.1
7.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生\的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的a，b分别为3，1，则输出的n等于 А.5 B.4 C.3 D.2
2x?1?cosx的图象大致是 8.函数f(x)=x2?1
答案：C
9.第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种 A.60 B.90 C.120 D.150
10.已知抛物线y2?2x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若
PF?3MF，则|MN|= A.
83168 B. C.2 D.
33311.已知三棱锥P?ABC内接于球O，PA?平面ABC，?ABC为等边三角形，且边长为16?，则直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为
3，球O的表面积为
A.
15151515 B. C. D. 75210?|2x?1|,x?151512.f(x)??,g(x)?x3?x2?m?2，若y?f(g(x))?m有9个零点，则m的取值范围是
44?log2(x?1),x?155A.(0,1) B.(0,3) C.(1,) D.(,3)
33二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线y?xex?2x2?1在点(0,1)处的切线方程为___________.答案：x?y?1?0; 14.若Sn是等差数列?an?的前n项和，若a1?0，a2?3a1，则
S10?__________ S5x2y215.已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的右顶点为A，以A为圆心，6为半径做圆，圆A与双曲线C的一条
ab303; 渐近线相交于M，N两点，若OM?ON（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为___________.答案：
2516.已知数列?an?满足：对任意n?N*均有an?1?pan?2p?2（p为常数，p?0且p?1），若
. a2,a3,a4,a5???18,?6,?2,6,11,30?，则a1的所有可能取值的集合是___________.答案：?0,?2,?66?三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（12分）
已知?ABC外接圆半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设2R(sin2A?sin2B)?(a?c)sinC. （1）求角B；
（Ⅱ）若b=12，c=8，求sinA的值 17.【解析】(I)2R(sin∴2R?2R(sin即：a222?c2?b2?ac. ……3分
A?sin2B)?(a?c)sinC?2R,
A?sin2B)?(a?c)sinC.
a2?c2?b21?.∴cosB?2ac2
因为0?B??,所以?B??3……6分
3bc?, sinC?,
3sinBsinC6.……9分由b?c，故?C为锐角，cosC?3?361332?3sinA?sin(B?C)?sin(?C)?????.……12分
323236(II)若b?12,c?8，由正弦定理，18.（12分）
已知三棱锥M-ABC中，MA=MB=MC=AC=22，AB=BC=2，O为AC的中点，点N在棱BC上，且BN?（1）证明：BO?平面AMC；
（2）求二面角N-AM-C的正弦值.
M2BC.3AONB
C18.【解析】（I）如图所示：连接OM， 在?ABC中：AB?BC?2,AC?22，则?ABC?90?,BO?2，OB?AC.2分
在?MAC中：MA?MC?AC?22，O为AC的中点，则OM?AC，且
OM在?MOB中：BO??6. ……4分
2,OM?6,MB?22，满足：BO2?OM2?MB2
根据勾股定理逆定理得到OB?OM AC,OM相交于O ，
故OB?平面AMC………………….6分
（Ⅱ）因为OB,OC,OM两两垂直，建立空间直角坐标系 如图所示． 因为MA?MB?MC?AC?22,AB?BC?2
则A(0,?2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),M(0,0,6)……8分 由BN?2222BC所以，N(,,0) 333设平面MAN的法向量为m?(x,y,z)，则
?252252AN?n?(,,0)?(x,y,z)?x?y?0,? 3333??AM?n?(0,2,6)?(x,y,z)?2y?6z?0?令y?3，得m?(?53,3,?1)……10分
因为BO?平面AMC，所以OB?(2,0,0)为平面AMC的法向量， 所以m?(?53,3,?1)与OB?(2,0,0)所成角的余弦为cos?m,OB??所以二面角的正弦值为|sin?m,OB?|?1?(?56?53． ?79279?5322279.……12分 )??797979MAOCNB
19.（12分）
y2x22已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的离心率为，且过点C(1,0).
ab2（1）求椭圆E的方程；
（2）若过点(?1,0)的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证，恒有|AB|?2|CM|.
19.【解析】（I）由题意知b?1，
c2.……1分 ?a2又因为a2?b2?c2解得，a?2. ……3分
y2?x2?1. ……4分 所以椭圆方程为2（Ⅱ） 设过点(?,0)直线为x?ty?131，设A?x1,y1?，B?x2,y2? 31?x?ty???322由?2得9?18ty?12ty?16?0，且???. ?y?x2?1??2??则
12t?y?y?,22??19?18t??6分?16?yy??,?129?18t2?
又因为CA??x1?1,y1?，CB??x2?1,y2?，
?CA?CB?(1x?1)(2x?1)?1y2y?????1?t2?4??t???1y3??4?t??2y3?42?1?yy?1?ty?132y??2?t116?y2y?9?164t12t16????0，……10分 229?18t39?18t9所以CA?CB.
因为线段AB的中点为M，所以|AB|?2|CM|.……12分
20.（12）
水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0 某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放 现有以下四种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验. 化验次数的期望值越小，则方案越\优\（1）若p?22，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率； 322，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优\？②3若“方案三”比“方案四\更“优”，求p的取值范围. （2）①若p?2228)?，……2分 3981所以根据对立事件原理，不达标的概率为1??.……4分 9920.【解析】(I)该混合样本达标的概率是((II)（i）方案一：逐个检测，检测次数为4. 方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6. 其分布列如下， 81；若不达标则检测次数为3，概率为.99?2 p 2 4 6 64 8116 811 81可求得方案二的期望为E(?2)?2?方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5. 其分布列如下， 6416119822?4??6???818181819
河南省郑州市2020届高中毕业年级高三第一次质量预测理科数学试题卷
