求极限的13种方法（简叙）
龘龖龙
极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。
一、利用恒等变形求极限
利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限 lim(1?a)(1?a)...(1?a) ，其中a?1
n??22n分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。
1?a) 解 因为(1?a)(1?a)...(122n(1?a)(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a1222n(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a12n?1(1?a) =1?a22n当
a2n?1n???0,从而时，
22n?1??,2n而
1 1?aa?1，故
lim(1?a)(1?a)...(1?a)=
n??二、利用变量代换求极限
利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。 例2、求极限limnx?1mx?1x?1，其中m,n为正整数。
00分析 这是含根式的（）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。 解 令t?x,则当x?1时，t?1
tn?1(t?1)(tn?1?tn?2?...?1)tn?1?tn?2?...?1n 原式=limm?lim?m?1m?2? m?1m?2t?1tt?1?1(t?1)(t?t?...?1)t?t?...?1m1mn三、利用对数转换求极限
利用对数转换求极限主要是通过公式uv?elnu?v,进行恒等变形，特别的情形，在（1?）型未定式时可直接运用uv?e(u?1)?v 例3、求极限limx?o(cosx)csc2x
1?sin2xlim22x?0sinx12e解 原式=limx?o(cosx?1)cscx2?e?e?
四、利用夹逼准则求极限
利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。 例4、求极限limn??n! nn分析 当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使用夹逼准则。 解 因为o?n!12n?1n1??????，
nnnnnnn且不等式两端当趋于无穷时都以0为极限，所以limn??n!=0 nn五、利用单调有界准则求极限
利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式
xn?1?f(xn)的数列极限。在确定limxn存在的前提下，可由方程A=f(A)
n??x=A。 解出A，则limn??n例5、设a?0,x1?0,xn?11a?(3xn?3)，（n=1,2,…）,求极限4xnlimn??xn。
分析 由于题中并未给出表达式，也无法求出，故考虑利用单调有界准则。
解 由a?0,x1?0,xn?1?1a(3xn?3)易知xn?0。 4xn根据算术平均数与几何平均数的关系，有
4所以，数列xn有下界4a，即对一切n?1,有xn?a
xn?11a1a?(3?)?(3?)?1 又 4xn4xn4a所以xn?1?xn,即数列单调减少。由单调有界准则知数列xn有极限。
4xn=A,则由极限的保号性知A?a?0. 现设limn??对式子xn?1?1a1a(3xn?3)两边同时取极限得A?(3A?3) 4xn4A44xn=a（已舍去负根） 解得 A=a,即limn??六、利用等价无穷小求极限
利用等价无穷小求极限是求极限极为重要的一种方法，也是最为简便、快捷的方法。学习时不仅要熟记常用的等价无穷小，还应学会灵
求极限的种方法
