高中数学新人教A版必修4学案附答案
3.1.1 两角差的余弦公式
学习目标：1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)2.理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点)3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
两角差的余弦公式
公式 适用条件 公式结构 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β 公式中的角α，β都是任意角 公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反 [基础自测] 1．思考辨析
(1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.( )
(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．( ) (3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．( ) (4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )
[解析] (1)错误．cos(60°－30°)＝cos 30°≠cos 60°－cos 30°. (2)错误．当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°
－45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此时cos(α－β)＝cos α－cos β.
(3)正确．结论为两角差的余弦公式．
(4)正确．cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝cos(120°－30°)＝cos 90°＝0.
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．cos(－15°)的值是( ) A.C.
6－2
26－2
4
B.D.
6＋2
26＋2
4
D [cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝
23216＋2×＋×＝.] 22224
3．cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝________.
1
22 [cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝cos(65°－20°)＝cos 45°＝.] 2[合 作 探 究·攻 重 难]
给角求值问题 (1)cos13π12的值为( )
A．6＋2
4 B．
6－2
4 C．
2－6
4
D．－6＋2
4
(2)求下列各式的值：
①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； ②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°； ③12cos 15°＋3
2
sin 15°. (1)D [(1)cos13π12＝cos??π?
π＋12??π?＝－cos12
＝－cos??ππ?4－6???
＝－cosπ4cosπ6－sinππ
4sin6 ＝－232162×2－2×＋22＝－4
. (2)①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°) ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12. ②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°
＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°) ＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14° ＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝3
2
. ③12cos 15°＋3
2
sin 15° ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
2
84352295】
2
【导学号：
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝
2.] 2
[规律方法] 1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
2．两角差的余弦公式的结构特点：
(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加． [跟踪训练] 1．化简下列各式：
(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； (2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. [解] (1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝
2. 2
(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝
3. 2
[探究问题]
给值(式)求值问题 1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？ 提示：cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β. 2．利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？
提示：cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)．
(1)已知sin α－sin β＝1－A．－3 2
31，cos α－cos β＝，则cos(α－β)＝( ) 221B．－ 2D．3 2
1C． 2
3
高中数学新人教A版必修4学案附答案第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切3.1.1两角差的余弦公式
