中原工学院
毕业论文开题报告
论文 题目： 线性微分方程组的求解问题
学 院： 理学院
专 业： 数学与应用数学
年级(班）： 数学101
学 号： 201000134120
姓 名： 汤怀强 指导教师： 李吉娜
2014年3月 13 日
中原工学院本科毕业论文开题报告
1.选题的目的和意义： 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的等价关系, 理解用向量和矩阵来研究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理。 在微分方程的理论中，线性微分方程组是非常值得重视的内容。这是因为线性微分方程是研究非线性微分方程组的基础，很多工程技术问题的数学模型都是以微分方程组的形式出现，所以对微分方程组的求解问题研究具有现实意义。它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛的应用。利用矩阵表示线性微分方程(组) 的解问题 ,形式比较简单 ,而矩阵函数又使线性微分方程(组)的求解问题得到简化。不仅如此，矩阵微分方程(组) 还是系统工程和控制理论的重要数学基础。在弹性力学、流体力学、电动力学和自动控制理论中的一些大量的实际工程技术问题的研究中，往往会直接导出各种各样的变系数线性微分方程组。本课题主要研究矩阵在解线性微分方程组中的应用，以便更深入了解线性微分方程的解法。 2.课题研究现状： 线性微分方程，是指以下形式的微分方程：Ly?f[1]。其中微分算子L是线性算子，y是一个未知的函数，等式的右面是一个给定的函数。L是线性的条件，排除了诸如把y的导数平方那样的运算；但允许取y的二阶导数。针对常系数微分方程组的解法研究，目前有以下几种解法，采用初等变换解法[2]和消去法[2]对一阶微分线性方程组进行了求解；采用了递推公式法[2]，矩阵解法[3]和初等解法[4]对一阶微分方程组的解法得到了通解公式；采用标准基解矩阵方法[3]得到了复常系数一阶微分方程组的通解公式等等．在对高阶微分方程组的研究文献却甚少，用欧拉方法[5]给出了一类二阶微分方程组的通解公式，但该通解公式适用于系数矩阵的6个特征根互异的情形。采用拉普拉斯变换[6]用于解常系数高阶线性微分方程，应用拉普拉斯变换可以将求解线性微分方程组的问题化为求解线性代数方程组的问题，达到简化求解难度。
3.研究方法： ①掌握相关基础知识：包括矩阵函数、矩阵函数的微积分、矩阵幂级数、矩阵的范数。 ②研究一阶常系数齐次线性微分方程组的解法。 ③研究一阶常系数非齐次线性微分方程组的解法。 4.选题研究的技术路线、研究方法： 研究技术路线：首先，了解本论题的研究状况，形成文献综述和开题报告。其次，进一步搜集阅读资料并研读文本，做好相关的记录，形成论题提纲。第三，深入研究，写成初稿。最后，反复修改，完成定稿。 研究方法： 运用文献分析法、文本细读法、比较法、综合分析法等进行研究。 5.研究与写作计划： 2010年3月8日——4月15日 确定选题、收集相关资料 2010年4月16日——4月30日 撰写开题报告与开题 2010年5月1日——6月30日 收集资料，开展研究，形成写作提纲 2010年7月1日——9月30日 深入研究，形成论文初稿 2010年10月1日——10月30日 论文修改、定稿、打印、答辩
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