=（0，-1，-2），平面PAB的法向量=（1，0，0）， ∵
=0，MC?平面PAB，
∴MC∥平面PAB．
（Ⅱ）解：A（0，3，0），B（0，0，0），=（3，3，0）， =（0，3，-3），=（3，3，-3）， 设平面PAD的法向量=（x，y，z），
则，取y=1，得=（0，1，1），
设直线BD与平面PAD所成角为θ， 则sinθ=
=
=，∴θ=30°，
∴直线BD与平面PAD所成角的大小为30°．
（Ⅲ）解：=（1，0，-3），设平面PCD的法向量=（x1，y1，z1），
则，取x1=3，得=（3，-2，1），
平面PAD的法向量=（0，1，1）， 设二面角C-PD-A的平面角为γ， 则cosγ=
=
=．
∴二面角C-PD-A的余弦值为．
解析：本题考查线面平行的证明，考查线面角、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
（Ⅰ）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MC∥平面PAB．
（Ⅱ）求出平面PAD的法向量，利用向量法能求出直线BD与平面PAD所成角的大小．
（Ⅲ）求出平面PCD的法向量和平面PAD的法向量，利用向量法能求出二面角C-PD-A的余弦值． 18.答案：解：（1）依题意公比为正数的等比数列{an}（n∈N*），首项a1=3， 设an=3qn-1，
因为S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差数列， 所以2（S5+a5）=S3+a3+S4+a4，
即2（a1+a2+a3+a4+2a5）=（a1+a2+2a3+（a1+a2+a3+2a4）， 化简得4a5=a3， 从而4q2=1，解得q=±，
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因为{an}（n∈N*）公比为正数， 所以q=，an=6×（）n，n∈N*； （2）bn=
=n?（）n，
则Tn=1?（）+2?（）2+3?（）3+…+（n-1）?（）n-1+n?（）n， Tn=1?（）2+2?（）3+3?（）4+…+（n-1）?（）n+n?（）n+1， 两式相减可得Tn=+（）2+（）3+（）4+…+（）n-n?（）n+1
=-n?（）n+1，
化简可得Tn=2-（n+2）?（）n．
解析：（1）设公比为q＞0，由等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得q，即可得到所求通项公式； （2）求得bn=
=n?（）n，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整
理即可得到所求和．
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列中项的性质，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．
19.答案：解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率为e═=
由椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），代入可知：解得：b2=2，则a2=8， ∴椭圆C的方程
；
=．即a2=4b2，
，
（Ⅱ）显然，直线l的斜率k存在，设P（x0，y0），则Q（-x0，-y0），
（1）当k=0，直线PQ的垂直平分线为y轴，y轴与直线m的交点为M（0，2由丨PO丨=2，丨MO丨=2， ∴∠MPO=60°，则△MPQ为等边三角形， 此时直线l1的方程为y=0，
当k≠0时，设直线l1的方程为y=kx， 则
，整理得：（1+4k2）x2=8，解得：丨x0丨=
，则丨PO丨=
），
?，
则PQ的垂直平分线为y=-x，
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则，解得：，则M（-，），
∴丨MO丨=，
丨PO丨，
∵△MPQ为等边三角形，则丨MO丨=∴
=
?
?
，解得：k=0（舍去），k=，
∴直线l1的方程为y=x，
综上可知：直线l1的方程为y=0或y=x．
解析：（Ⅰ）椭圆的离心率为e═=
=．即a2=4b2，将点M（2，1），代入椭圆方程即可求得
a和b的值，求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）当k=0，直线PQ的垂直平分线为y轴，y轴与直线m的交点为M（0，2），满足△MPQ为等边三角形，求直线l1的方程y=0，当k≠0时，设直线l1的方程为y=kx，代入椭圆方程，求得丨PO丨，则垂直平分线的方程y=-x，与直线l2：x-y+2
=0上存在点M坐标，由等边三角形的性质可知：
丨MO丨=丨PO丨，代入即可求得k的值，求得直线l1的方程．
本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查等边三角形的性质，考查计算能力，属于中档题．
20.答案：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx-x2+x，函数的定义域为（0，+∞）． f′（x）=
．
当f′（x）＞0，即0＜x＜1时，函数f（x）单调递增； 当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减．
∴函数f（x）的单调增区间为（0，1）；单调递减区间为（1，+∞）； （Ⅱ）∵f′（x）=
．
当a≤0时，∵f′（x）＜0恒成立，∴函数f（x）在（0，+∞）内单调递减，无极值； 当a＞0时，令f′（x）=0，得x=a．
当x∈（0，a）时，f′（x）＞0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0， ∴当x=a时，函数f（x）取得极大值f（a）=a（lna+a-1）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）内单调递减， 则f（x）至多有一个零点，不符题意，舍去；
当a＞0时，函数f（x）取得极大值f（a）=a（lna+a-1）， 令g（x）=lnx+x-1（x＞0）， g′（x）=
＞0，g（x）在（0，+∞）内单调递增，
又g（1）=0，∴0＜x＜1时，g（x）＜0，x＞1时，g（x）＞0．
①当0＜a≤1时，f（a）=ag（a）≤0，则f（x）至多有一个零点，不合题意；
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②当a＞1时，f（a）=ag（a）＞0． ∵f（）=a（
）
＜0．
∴函数f（x）在（，a）内有一个零点；
∵f（3a-1）=aln（3a-1）-（3a-1）2+（2a-1）（3a-1）=a[ln（3a-1）-（3a-1）]， 设h（x）=lnx-x（x＞2）， ∵h′（x）=
＜0，
∴h（x）在（2，+∞）内单调递减， 则h（3a-1）＜h（2）=ln2-2＜0． ∴f（3a-1）=a?h（3a-1）＜0．
∴函数f（x）在（a，3a-1）内有一个零点． ∴当a＞1时，函数f（x）恰有两个不同零点．
综上，当函数f（x）有两个不同的零点时，a的取值范围是（1，+∞）．
解析：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx-x2+x，求其导函数，由导函数在不同区间内的符号可得原函数的单调性； （Ⅱ）f′（x）=
．当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，函数f（x）在（0，
+∞）内单调递减，无极值；当a＞0时，令f′（x）=0，得x=a．由单调性可得当x=a时，函数f（x）取得极大值f（a）=a（lna+a-1）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）内单调递减，则f（x）至多有一个零点，不符题意，舍去；当a＞0时，函数f（x）取得极大值f（a）=a（lna+a-1），令g（x）=lnx+x-1（x＞0），讨论g（x）的单调性，再分0＜a≤1和a＞1分析函数f（x）的零点情况，可得当函数f（x）有两个不同的零点时，a的取值范围是（1，+∞）．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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2020年天津市河北区高考数学一模试卷（理科）（有答案解析）
