基本不等式完整版非常全面

基本不等式完整版(非常全面)

基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式 （1）若a,b?R，则a（2）若a,b?R，则

2当x?1时取“=”）

（2）若x?0，则x?1??2 (当且x仅当x??1时取“=”）

ab（3）若ab?0，则b??2 (当且a?b2?2ab

a2?b2ab?2

2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若a,b?R，则a?b?2*仅当a?b时取“=”）

ab

（4）若a,b?R，则（5）若

a?b?ab??112?ab1a2?b223、基本不等式的两个重要变形

b（1）若a,b?R，则a??2**a?b2a2?b2ab?()?22

a,b?R*，则

ab

2a?b? （2）若a,b?R，则ab????2??特别说明：以上不等式中，当且仅当a?b时取“=” 6、柯西不等式 （1）若

a,b,c,d?R总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

特别说明：以上不等式中，当且仅当a?b时取“=” ，则

(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)212312

32

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论

?2 (当且仅（1）若x?0，则x?1x

（2）若a,a,a,b,b,b?R，则有： (a?a?a)(b?b?b)?(ab?ab?ab)

2122232112223112233（3）设a,a,???,a与b,b,???,b是两组

12n12n实数，则有

(a12?a22?????an2)(b12?b22?????bn2)?(a1b1?a2b2?????anbn)2

二、题型分析

题型一：利用基本不等式证明不等式

1、设a,b均为正数，证明不等

式:ab≥211

a?b

2、已知a,b,c为两两不相等的

实数，求证：

a2?b2?c2?ab?bc?ca

3、已知a?b?c?1，求证：

a2?b2?c2?13

4、已知a,b,c?R?，且a?b?c?1，求

证：(1?a)(1?b)(1?c)?8abc

5、已知a,b,c?R?，且a?b?c?1，求

证：??1??1??1?a?1????b?1????c?1????8

6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：

不等式选讲

设a,b,c均为正数,且a?b?c?1,证明:

(Ⅰ)ab?bc?ca?13;

(Ⅱ)a2b2c2b?c?a?1.