初中数学竞赛辅导资料（52）
换元法
甲内容提要
1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法. 2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.
例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.
3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验. 4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.
5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax4+bx3+cx2+bx+a=0.
11)+b(x+)+c=0. 2xx11设x+=y, 那么x2+2= y2－2,
xx两边都除以x2,得a(x2+
原方程可化为ay2+by+c－2=0.
对于一元五次倒数方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0， 必有一个根是－1. 原方程可化为 (x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0.
ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ，这是四次倒数方程.
形如 ax4－bx3+cx2＋bx+a=0 的方程，其特点是：
与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.
两边都除以x2, 可化为a(x2+
11)－b(x－)+c=0. 2xx11设x－=y, 则x2+2=y2+2,
xx原方程可化为 ay2－by+c+2=0.
乙例题
例1. 解方程x?1?解：设x?1?x?1?x2?1=x.
x?1=y, 那么y2=2x+2x2?1.
原方程化为： y－
12
y=0 . 2解得 y=0；或y=2.
当y=0时， 当y=2时，
x?1?x?1=0 (无解) x?1?x?1=2，
解得，x=
5. 检验（略）. 4
例2. 解方程：x4+(x－4)4=626.
解：（用平均值
x?x?4 代换，可化为双二次方程.） 2设 y= x－2 ，则x=y+2. 原方程化为 (y+2)4+(y－2)4=626.
［((y+2)2－(y－2)2)2＋2(y+2)2(y－2)2－626=0
整理，得 y4+24y2－297=0. (这是关于y的双二次方程).
(y2+33)(y2－9)=0.
当y2+33=0时， 无实根 ； 当y2－9=0时， y=±3.
即x－2=±3， ∴x=5；或x=－1.
例3. 解方程：2x4+3x3－16x2+3x+2=0 .
解：∵这是个倒数方程，且知x≠0，
11)+3(x+)－16=0.
xx211 设x+=y, 则x2+2=y2－2.
xx两边除以x2,并整理 得2(x2+
原方程化为 2y2+3y－20=0. 解得 y=－4；或y=
5. 2由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3. 由y=2.5得 x=2；或x=
1. 222??2x?5xy?2y?x?y?1?0例4 解方程组?
22??x?4xy?y?12x?12y?10?0解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）
设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：
2?u??2???u?4??2u?u?v?1?03. 解得； 或. ??2?11v??37???v??u?12u?2v?10?0?9?2?x?y????x?y?4?3即? ； 或? .
11?xy??37?xy??9????1?23?1?23x???x????x?2?41?x?2?41??33解得：?；或?；或?；或?.
???y??1?23?y??1?23?y?2?41?y?2?41??33??
丙练习52
解下列方程和方程组：（1到15题）：
1.
x?x?7?2x(x?7)?35－2x.
2. (16x2－9)2+(16x2－9)(9x2－16)+(9x2－16)2=(25x2－25)2.
3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 . 4. (2x2－x－6)4+(2x2－x－8)4=16. 5. (25x?1?1)4+(25x?1?3)4=16.
6.
x132?x?=. 7. 2x4－3x3－x2－3x+2=0. 2x2x?1?11122?x?y?x?y?18?x?y?3?8. ? 9. ?.
22??x2?y2?160?x?y?xy?19?10.
743. ??222x?6x?4x?6x?9x?6x?511. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.
?xy5?????x?1?y?1?512. ?. 13. ?yx2.
??x?y?10?x?y?13??1x??x?y?3?3?y14. ?. 15
?2?y?2xy?8y?1?0x?11?1??x. xx16. 分解因式： ①(x+y－2xy)(x+y－2)+(1－xy)2； ②a4+b4+(a+b)4 .
17. 已知：a+2=b－2=c×2=d÷2, 且a+b+c+d=1989.
则a=___,b= ____,c=_____,d=____ (1989年泉州市初二数学双基赛题) 18. ［a］表示不大于a的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，
那么 方程 ［3x+1］=2x－
1 的所有根的和是_____.(1987年全国初中数学联赛题) 2
奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初三上部分,共)-52
