57. 以多项式形式表示： y=cos 3( arccos x), y=cos 4(arccos x), y=cos n(arccos x), 其中|x|≤1 58. 计算n次单位根的k次方的和。
59. 在 (x, y) 平面上，作出下面参数方程定义的曲线：
60. 计算下面的积分（误差不超过10%）
61. 计算下面的积分（误差不超过10%）
62. 求单位球面上角度为(α,β,γ)的球面三角形的面积。（球面三角形的边长是大圆；即，过球心的平面与球面的交线。）
答案是： S=α+β+γ-π（例如，假设这个球面三角形的三个内角都是直角，则S=π/2 即球面面积的1/8）
63. 一个半径为r的圆在半径为1的圆内滚动（不滑动）。分别对下述情况绘制滚动圆上一个点的整个轨迹（该轨迹称为内摆线）： r=1/3,r=1/4,r=p/q,r=1/2;
64. 在一个有n个学生的班级里，估计两个同学生日相同的概率。这会是一个大概率事件，还是小概率？
答案：当学生人数大于某个数n0时，概率是（非常）大的；当学生人数小于n0时，概率是（非常）小的。这题真正问的是n0具体是多少（当概率p≈1/2时）？
65. 斯涅尔定律（Snell’s Law）描述的是入射角 α 满足方程 n(y)sinα=常数，其中 α是光束与分层介质法线所成的夹角，n ( y ) 是层高 y 处的折射率。（如果我们假设光速在真空中为1，量n与介质中的光速成反比例。在水中，n = 4/3）。画出在介质“沙漠上的空气”中光线的轨迹，其中折射率n ( y ) 在某个高度达到最大值。（见下面的右图）
（对于那些理解物体发出光线的轨迹是怎样与它们的像联系的人，这道题的解答可以解释海市蜃楼现象。）
66. 在一个锐角三角形ABC中做出一个周长最小的内接三角形KLM（顶点K在AB边上，L在BC边上，M在CA边上）。
提示：非锐角三角形的答案并不像锐角三角形的答案那样完美。
67. 计算函数1/r 在以点（X,Y,Z）为圆心半径为R的球面上的均值，其中r是点 (x, y, z) 到原点的距离，
67. 计算函数1/r 在以点（X,Y,Z）为圆心半径为R的球面上的均值，其中r是点 (x, y, z) 到原点的距
离， 。
提示：这个问题与牛顿的万有引力定律和电场里的库仑定律有关。 在问题的二维版本中，给定的函数应该用ln r来代替，球面用圆来代替。
68. 利用2^10=1024≈10^3不难得到lg2≈0.3 ，估计近似值0.3和lg2 的差，并且计算lg2（保留小数点后3位）。
69. 用与68题相同的精度计算lg4,lg8,lg5,lg50,lg32,lg128,lg125 和lg64. 70. 利用7^2≈50计算lg7的近似值。
71.假设已知 lg64 和 lg7 的值，求 lg9,lg3,lg6,lg27 和lg12.
72. 利用 ln(1+x)≈x（其中 ln 指的是loge ），再利用关系lg a=ln a / ln10 和之前计算的lg a （例如，a=128/125, a=1024/1000等）的值来计算lg e 和 ln 10.
花半个小时计算后，利用第67-71题结果，我们可以得到任意数的4位对数表，其中用到了对数乘积公式和以下公式
（这也是牛顿编制40位对数表的方法！） 作者注：欧拉常数 e=2.71828……其严格定义为
它也可以通过公式
它也可以通过公式来定义。
来定义。
73. 考虑2的幂次序列：1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, … 在前12个数字中，4个以1开头，没有以7开头的。证明当n→∞时 每个数都可能成为2^m,0≤m≤n，的首位数，并且它们出现的频率为p1≈30%，p2≈18%……p9≈4%：
74. 验证3的幂次序列的首位数：1，3，9，2，8，2，7，… 证明，每个数在3的幂次序列中出现的频率和它在2的幂次序列出现的频率一致。求出p1，...，p9 的准确公式。
阿诺尔德给5至15岁孩子出的数学题
