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阿诺尔德给5至15岁孩子出的数学题

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29. 证明

29. 证明除奇素数p的余数为1.

除奇素数p的余数为1.

30. 将一根10厘米长的针随机扔到格子纸上。 纸上相邻线之间的距离也是10厘米。 重复N(比如一百万)次。 问:多少次(在百分之几的误差内)针会落下与纸上的一条线相交?

人们可以用N = 100而不是一百万次投掷来进行 这个实验。 (我十岁的时候做过这个实验。) 这个问题的答案是令人惊讶的:(2/π)N. 而且,即使对于长度为a·10 cm的弯曲针,在N次投射中观察到的相交的次数也约为(2a/π)N. 由此得到

这个问题的答案是令人惊讶的:(2/π)N. 而且,即使对于长度为a·10 cm的弯曲针,在N次投射中观察

到的相交的次数也约为(2a/π)N. 由此得到

31. 有些多面体只有三角形面。 例如某些柏拉图立体: (正)四面体(4面),八面体(8面)和二十面体(20面)。 二十面体的面全等,有12个顶点,有30个边。对于任何这样的立体图形(具有三角形面的有界凸多面体),面的个数是否等于顶点个数的两倍再减去四?

四面体

八面体

二十面体

32. 还有一个柏拉图立体(总共有5个):十二面体。 它是一个凸多面体,具有12(正)五边形面,20个顶点和30条边(其顶点是二十面体的各个面的中心)。将五个立方体内接于十二面体内,其顶点也是十二面体的顶点,其边是十二面体的面的对角线。 (立方体有12条边,每条边落在十二面体的一个面上)。[ 这个构造由开普勒发明,用来描述他的行星模型。]

33. 两个正四面体可以内接于一个立方体中,使得它们的顶点也是立方体的顶点,它们的边是立方体面的对角线。 描述这两个四面体的相交部分。正方体体积和这两个四面体相交部分体积的比值是多少?

33(之二).给定正方体边上三个点,构造出通过这三点的平面与正方体的截面。[ 绘制平面与立方体相交的多边形。]

34. 四面体有多少个对称? 立方体? 八面体? 二十面体? 十二面体? 图形的对称是这个图形保持长度的变换。这些对称中有多少个是旋转,有多少个是平面的反射(对上面五种多面体分别作答)?

35. 有多少种方法可以用六种颜色(1,...,6)来涂相似立方体的六个面(每个面一种颜色),以使得到的彩色立方体中没有两个是相同的(也就是说,没有两个可以通过旋转变换变成彼此)?

36. 有多少种不同的方法来排列n个对象? 对于n = 3,有6种方式:(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),( 3, 2, 1)。 如果对象的个数是n = 4? n = 5? n = 6? n=10呢?

37. 一个立方体有4个主对角线(连接其相对的顶点)。 通过旋转立方体能得到这四个主对角线的多少种不同排列?

38. 一些整数和的立方减去这些整数的立方和。得到的差总能被3整除吗?

39. 与38题类似。问一些整数和的5次方减去这些整数的5次方和,得到的差总能被5整除吗?一些整数和的7次方减去这些整数的7次方和,得到的差总能被7整除吗?

40. 计算下式的和(误差不超过正确答案的1%)

41. 如果两个多边形具有相等的面积,则可以将它们切割成有限个的子多边形,使得重新排列这些子多边形可以得到第一个和第二个多边形。 证明这个结论。[ 对于空间体而言情况并非如此:立方体和等体积的四面体不能通过这种方式得到!]

42. 一张方格纸上的四个格子点是平行四边形的顶点。 事实上,在这个平行四边形的边上或其内部没有其它格子点。 证明这个平行四边形的面积等于方格纸的一个方块的面积。

43. 假设在问题42中,一个平行四边形内部有a 个格点,边上有b个格点。 求这个平行四边形的区域。(译者注:平行四边形的顶点不算做边上的点,见上图。)

44. 在三维平行六面体中有类似与43题的结果吗?

45. 斐波那契(“兔”)数是序列(a1=1 ),1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... ,对于任何n = 1, 2,...,. an+2=an+1+an求 a100和 a99的最大公约数。

46. 沿不相交的对角线切割能将凸n边形切割成三角形。 不同的切割方式的个数称为卡塔兰 (Catalan) 数,记为 c(n)。 例如,c(4)= 2,c(5)= 5,c(6)= 14。求 c(10)?

阿诺尔德给5至15岁孩子出的数学题

29.证明29.证明除奇素数p的余数为1.除奇素数p的余数为1.30.将一根10厘米长的针随机扔到格子纸上。纸上相邻线之间的距离也是10厘米。重复N(比如一百万)次。问:多少次(在百分之几的误差内)针会落下与纸上的一条线相交?人们可以用N=100而不是一百万次投掷来进
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