第2讲 运动的关联
本讲导学
本讲专题处理运动学关联问题，基础好的同学最好掌握两种方法：关联法与数学参数法，看出其中的联系。
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知识回顾
1.运动定义：
绝对运动：动点相对于定系的运动,如P相对于地面的运动。 相对运动：动点相对动系的运动,如P相对于车厢的运动。
牵连运动：动系相对于定系的运动,如行驶的汽车相对于地面的运动。 2.关联关系：
如果牵连运动为转：动点在某瞬时的绝对加速度等于它在该瞬时的牵连加速度与相对加速度以及科氏加速度的矢量和。记为：
aa?ae?ar?ak其中科氏加速度
ak?2?e?vr , ak?2?evrsin(?e,vr)如图：
例题精讲
第一部分：数学描述能力训练
【例1】 一个半径为r的圆环能在水平地面上做纯滚动，在圆环边缘固定有一个半径可以忽略的小滑
轮，某时刻滑轮恰好处于水平位置。在距离滑轮r处有一墙高为2r的墙，一根不可伸长的绳子从墙根连出，绕过滑轮，从墙顶处绕出（由几何条件可以算出来绳子绕出的是等腰直角三角形的两
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条边），某人在墙顶处以速度v匀速拉绳子，为了让绳子即不拉断，也不松弛，则此刻 ①圆环的角速度?为多少？
②圆环中心相对地面加速度a为多少？
ωvar
（1）易知此时滑轮的速度方向与AB垂直，vB?2r?
以滑轮为系，上段绳子的延绳速度为v，因此下段绳子的沿绳速度也为v。 所以?2r?v ???2v（5分） 2rvBB'A
（2）球心的速度为v0?2r，球心加速度为a0，B相对于A的加速度由向心加速度和加速转动加速
v度。记下段绳子为n方向，上段绳子为?方向。轮子的角加速度为??a0/r
vN
?2rBa0?r?a0M在地面上看B的加速度：
2
aBn?a02??2r222，aB????r（3分） 22
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地面上看墙角M加速为aM?0，由于下段绳子没有转动，所以下端绳子上靠近滑轮的点沿绳加速度为0，所以相对滑轮下段绳子进入绳子的加速度为
a入?aBn?a02??2r22
（3分）
地面上看墙顶N加速度为aN?0，由于上段绳子转动角速度?'?靠近滑轮的点沿绳加速度为?2?2r2r??，所以上段绳子上
2r（1分）
所以相对滑轮上段绳子出绳子的加速度为
a出??22r?aB???2
由于绳子长度不变，所以a入?a出32r（3分） 2
a02??2r232=?2r（1分） 22
v2解得a0=2?r?（4分） 只要答案正确，方法没有明显错误给全分
r
2
【例2】 图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。AB 和CD杆可分
别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB杆绕A轴以恒定的角速度?转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。BC杆与CD杆都与水平方向成45°角，已知AB杆的长度为l，
BC杆和CD杆的长度由图给定。求此时C点加速度ac的大小和方向（用与CD杆之间的夹角表示）
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参考解答：
解法一
因为B点绕A轴作圆周运动，其速度的大小为
B点的向心加速度的大小为
vB??l aB??2l
（1） （2）
因为是匀角速转动，B点的切向加速度为0，故aB也是B点的加速度，其方向沿BA方向．因为C点绕D轴作圆周运动，其速度的大小用vC表示，方向垂直于杆CD，在考察的时刻，由图可知，其方向沿杆BC方向．因BC是刚性杆，所以B点和C点沿BC方向的速度必相等，故有
π2??l 42此时杆CD绕D轴按顺时针方向转动，C点的法向加速度
2vC aCn? （4）
CD
vC?vBcos（3）
由图可知CD?22l，由（3）、（4）式得 aCn?其方向沿CD方向．
下面来分析C点沿垂直于杆CD方向的加速度，即切向加速度aCt．因为BC是刚性杆，所以C点相对B点的运动只能是绕B的转动，C点相对
vaCn aC tv CB ? B A aC C vvC 22?l （5） 8?vB D B点的速度方向必垂直于杆BC．令vCB表示其速度的大小，根据速度合成公式有
vvvvCB?vC?vB 由几何关系得
22vCB?vB?vC?
22vB? ?l 22（6）
由于C点绕B作圆周运动，相对B的向心加速度
aCB2vCB? CB（7）
4
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因为CB?
2l，故有
aCB?22?l 4（8）
其方向垂直杆CD.
由（2）式及图可知，B点的加速度沿BC杆的分量为
π 4所以C点相对A点（或D点）的加速度沿垂直于杆CD方向的分量
?aB?BC?aBcos （9）
aCt?aCB??aB?BC?322?l 4（10）
C点的总加速度为C点绕D点作圆周运动的法向加速度aCn与切向加速度aCt的合加速度，即
22 aC?aCn?aCt?742?l 8（11）
aC的方向与杆CD间的夹角
??arctanaCt?arctan6?80.54? aCn（12）
解法二：通过微商求C点加速度
以固定点A为原点作一直角坐标系Axy，Ax轴与AD重合，Ay与AD垂直．任意时刻t，连杆的位形如图所示，此时各杆的位置分别用?，?和?表示，且已知AB?l，
B y C ? BC?2l，CD?22l，AD?3l，
标表示为
d????，C点坐dtA ? ? D （1） （2）
x xC?lcos??2lcos?
yC?lsin??2lsin?
将（1）、（2）式对时间t求一阶微商，得
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