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第一章-集合
考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求：
（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．
§01. 集合与简易逻辑 知识要点
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：
二、知识回顾：
（一） 集合
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为A?A； ②空集是任何集合的子集，记为??A；
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v1.0 可编辑可修改 ③空集是任何非空集合的真子集； 如果A?B，同时B?A，那么A = B. 如果A?B，B?C，那么A?C. [注]：①Z= {整数}（√）
②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N； A=N?，则CsA= {0}）
③ 空集的补集是全集.
④若集合A=集合B，则CBA = ?， CAB = ? CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ?）. 3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}：坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R?：二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} ：一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ??x?y?3 解的集合{(2，1)}.
2x?3y?1?2
②点集与数集的交集是?. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x+1} 则A∩B =?） 4. ①n个元素的子集有2个. ②n个元素的真子集有2 －1个. ③n个元素的非空真子集有2－2个.
5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若a?b?5，则a?2或b?3应是真命题.
解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②x?1且y?2， x?y?3. 解：逆否：x + y =3?x?1且y?2nnnx = 1或y = 2.
x?y?3,故x?y?3是x?1且y?2的既不是充分，又不是必要条件.
⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若x?5，?x?5或x?2. 4. 集合运算：交、并、补.
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v1.0 可编辑可修改 交：AB?{x|x?A,且x?B}并：AB?{x|x?A或x?B} 补：CUA?{x?U,且x?A}5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：
A?A,??A,A?U,CUA?U,A?B,B?C?A?C;AB?A,AB?B;AB?A,AB?B.（2） 等价关系：A?B?A（3） 集合的运算律：
交换律：A?B?B?A;A?B?B?A.
B?A?AB?B?CB?U UA结合律:(A?B)?C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C) 分配律:.A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C) 0-1律：?A??,?A?A,UA?A,UA?U
等幂律：A?A?A,A?A?A. 求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U
CUU=φ CUφ=U
反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)
6. 有限集的元素个数
定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式：
(1)card(AB)?card(A)?card(B)?card(AB)(2)card(ABC)?card(A)?card(B)?card(C)?card(AB)?card(BC)?card(C?card(ABC)(3) card(
U
A)
A)= card(U)- card(A)
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）
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v1.0 可编辑可修改 ①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)
②求根，并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么）；
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
x1x2x3xm-3-xm-2xm-1+-xm+x
（自右向左正负相间） 则不等式a0x?a1x确定.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的讨论. 二次函数 ??0 ??0 ??0 2
nn?1?a2xn?2???an?0(?0)(a0?0)的解可以根据各区间的符号
y?ax2?bx?c （a?0）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R ? ? ax?bx?c?02?a?0?的根ax2?bx?c?0(a?0)的解集x1,x2(x1?x2) x1?x2??b 2a ??b?xx?x1或x?x2 ?xx??? 2a???ax2?bx?c?0(a?0)的解集
?xx1?x?x2? 2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为
f(x)f(x)f(x)f(x)>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式， g(x)g(x)g(x)g(x)4第4页 共94页
v1.0 可编辑可修改 （2）转化为整式不等式（组）f(x)f(x)f(x)g(x)?0
?0?f(x)g(x)?0;?0???g(x)?0?g(x)g(x)3.含绝对值不等式的解法
（1）公式法：ax?b?c,与ax?b?c(c?0)型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)
（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反； （2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；
（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真． 4、四种命题的形式：
原命题：若P则q； 逆命题：若q则p； 否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
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原命题若p则q互否否命题若┐p则┐q互逆互为为互逆否逆命题若q则p互否逆否命题若┐q则┐p2
逆否互逆
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