2024-2024中考数学培优易错试卷(含解析)之一元二次方程组附答案解析
一、一元二次方程
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上． ①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P（﹣2﹣1，2）；②P（﹣【解析】
试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为x??1即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；
②S四边形ABCP=SΔOBC?SΔAPD?S梯形PDOC，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
2试题解析：（1）∵抛物线y?ax?bx?c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于
315 ，） 42a??1{c?3点C（0，3），其对称轴l为x??1，∴，解得：{b??2，∴二次函数的
bc?3???12a解析式为y??x?2x?3=?(x?1)?4，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
2（2）令y??x?2x?3?0，解得x??3或x?1，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作
22a?b?c?0PD⊥x轴于点D，∵点P在y??x2?2x?3上，∴设点P（x，?x2?2x?3）， ①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即y??x2?2x?3?2，解得x=2?1（舍去）或x=?2?1，∴点P（?2?1，2）；
②设P(x，y)，则y??x2?2x?3，∵S四边形ABCP=SΔOBC?SΔAPD?S梯形PDOC
111111OB?OC+AD?PD+(PD+OC)?OD=?3?1+?(3?x)y?(y?3)(?x)=
222222333?x?y 222333329332752=?x?(?x?2x?3)=?x?x?6=?(x?)?， 22222228337515∴当x=?时，S四边形ABCP最大值=，当x=?时，y??x2?2x?3=，此时P
4822315（?，）．
42=
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
2． y与x的函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;
或
( x≥m) ；
3．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元. （1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？
（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.
【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x的值为2或7. 【解析】 【分析】
（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】
（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a元/千克, b元/千克.
a?b?18? 由题得：?3a?4?4b?2?82??????a?10 解之得：??b?8答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得：?4?x??100?10x???2?x??140?10x??960 解之得：x1?2，x2?7
经检验，x1?2，x2?7均符合题意 答：x的值为2或7. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.
4．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x为何值时，活动区的面积达到1344m2?
【答案】当x?13m时，活动区的面积达到1344m2 【解析】 【分析】
根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】
解:设绿化区宽为y，则由题意得
50?2x?30?2y.
即y?x?10
列方程: 50?30?4x(x?10)?1344 解得x1??3 (舍)，x2?13.
∴当x?13m时，活动区的面积达到1344m2 【点睛】
本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．
5．已知两条线段长分别是一元二次方程x2?8x?12?0的两根，
2024-2024中考数学培优易错试卷(含解析)之一元二次方程组附答案解析
