极值点偏移问题的两种常见解法之比较
浅谈部分导数压轴题的解法
在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移 问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是： 已知函数y =
f(x)是连续函数，在区间(捲卞2)内有且只有一个极值点 x0，且 f(xj = f(X2)，若极值
点左右的 增减速度”相同，常常有极值点xo二为」，我
2
们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的增减速度”不同，函数的图象不 具有对称性，常常有极值点的情况，我们称这种状态为 极值点偏移”
2
极值点偏移问题常用两种方法证明：一是 函数的单调性，若函数f(x)在区 间(a,b)内单调递增，则对区间(a,b)内的任意两个变量xi、X2 ,
f(xj ::： f(X2)= Xi ::： X2;若函数f (x)在区间(a,b)内单调递减，则对区间(a,b)
内
的任意两个变量x1> x2， f (x1p: f (x2^ > x2.二是利用 对数平均不等式”证 明，什么是对数平均”什么又是对数平均不等式”
a -b 两个正数a和b的对数平均数定义: L(a, b) = In a -1 n b
a,a =b,
对数平均数与算术平均数、几何平均数的大小关系是： 85^2， (此式记为对数平均不等式) 下面给出对数平均不等式的
证明: i) 当a二b 0时，显然等号成立 ii) 当a = b 0时，不妨设a b 0，
①先证..ab
，要证Jab
，只须证：In空「
a
一” b
In aTnb
In aTnb
/ 1
2ln x 二 x ,x 1
x
1 ”21
(x-1)1 2
设 f(x) =2ln x-x ,x 1，贝U f (x)
1
2
X2
0，所以 f (x)
b Yb V a
x x x
a -b
< --------
In a-1 n b
②再证:
a -b
a b
a
In a-1 nb 2
要证：
ab
-
.
.
a bb
，只须证：
-1 I na
b
2 In x ,
-(x-1)2 2x(x 1)2
In a -1 nb 2
人 a
a 〔 2 b
x -1 In x
令rx1，则只须证：—，只须证1 一x 1 In x
g(xH
设 g(x) =1
丄
2x
(x 1)2
:::0
所以g(x)在区间(1,=)内单调递减，所以g(x) ：：： g(1) = 0 ,即卩1 -
a -b In a-1 n b
综上述，当a 0,b 0时,
a ■' b gL(a恥〒
x
2
例1 (2016年高考数学全国I理科第 21题)已知函数f (x) =(x - 2)e ? a(x-1)有 两个零点.
(I)求a的取值范围;
(n)设X\2是f (x)的两个零点，证明： 解：(I)函数f (x)的定义域为R ,
当a = 0时，f (x) = (x「2)e = 0，得x = 2，只有一个零点，不合题意; 当 a = 0时，f (x) =(x—1)[e 2a]
当 a 0时，由「(x) =0得，x=1，由 f (x) 7得，x 1，由 f (x) <0得，x：：：1, 故，x = 1是f (x)的极小值点，也是f ( x)的最小值点，所以f ( x) min = f (1) = -e ：：：
xx
x1 X2 ::: 2 .
0
又f (2) =a V，故在区间(1,2)内存在一个零点X2，即1 <心 2
x _2 1
x
由 lim (x「2)e = lim x Iim x = °，又 a(xT) x ? x - e x 丨：-—e
(v,1)存在唯一零点x1，即x 1，
::
2
0，所以，f (x)在区间
极值点偏移问题的两种常见解法之比较
