3.三个正数的算术-几何平均不等式
课后篇巩固探究
A组
1.若a>0,则2a+的最小值为( )
A.2 B.3 C.1 D.3
解析2a+=a+a+≥3答案D =3,当且仅当a=,即a=1时,2a+取最小值3.
2.设x,y,z∈R+,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z的取值范围是( ) A.(-∞,lg 6] C.[lg 6,+∞)
B.(-∞,3lg 2] D.[3lg 2,+∞)
解析因为x,y,z∈R+,所以6=x+y+z≥32(当且仅当x=y=z=2时,等号成立). 答案B ,即xyz≤8,所以lg x+lg y+lg z=lg xyz≤lg 8=3lg
3.已知x+2y+3z=6,则2+4+8的最小值为( )
xyzA.3 B.2 C.12 D.12
解析因为2>0,4>0,8>0,所以2+4+8=2+2+2≥3
xyzxyzx2y3z=3=3×4=12.
当且仅当2=2=2,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=x2y3z时,等号成立.
答案C 4.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则的最小值为( )
A.9 B.8 C.3 D.
解析∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,
∴
=3+
≥3+6
=3+6=9
.
答案A 5.用一张钢板制作一个容积为4 m的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同规格(长×宽的尺寸如各选项所示,单位:m).若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是( ) A.2×5
B.2×5.5
C.2×6.1 D.3×5
3
解析设长方体水箱长、宽、高分别为x m,y m,z m,则xyz=4.水箱的表面积
S=xy+2xz+2yz=xy+2x·+2y·=xy+≥3=12
.
故要制作容积为4 m的无盖水箱,所需的钢板面积最小为12 m,所以选项A,B排除,而选项C,D均够用,但选项D剩较多,故选项C正确. 答案C 3
2
6.若a,b,c同号,则≥k,则k的取值范围是 .
解析因为a,b,c同号,所以>0,于是≥3=3(当且仅当a=b=c时,等号成立),因此
k的取值范围是k≤3.
答案k≤3
7.若x<0,则-x的最大值为 .
2
解析-x=-2
=-,
因为x+2
=x2+
≥3=3
,所以-x≤-3,即-x的最大值为-3.
答案-3
22
8.若a>b>0,则a+的最小值为 .
解析因为a>b>0,所以a-b>0,于是a+=(a-b)+b+≥3=3,当且仅当a-b=b=,
即a=2,b=1时,a+答案3 的最小值为3.
9.已知实数a,b,c∈R,a+b+c=1,求4+4+ab的最小值,并求出取最小值时a,b,c的值.
解由三个正数的算术-几何平均不等式,得4+4+号成立).
ab≥3=3(当且仅当a=b=c时,等
2
∵a+b+c=1, ∴a+b=1-c.
则a+b+c=c-c+1=22
,当c=时,a+b+c取得最小值
2
.
从而当a=b=,c=时,4+4+ab取最小值,最小值为3.
10.导学号26394008已知x,y均为正数,且x>y,求证2x+≥2y+3.
证明因为x>0,y>0,x-y>0,所以2x+-2y
=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+
≥3=3,
所以2x+
≥2y+3.
B组
1.若logxy=-2,则x+y的最小值为( )
A. B. C. D.
解析由logxy=-2得y=,因此x+y=x+≥3
.
答案A 2.设x>0,则f(x)=4-x-的最大值为( )
A.4- 解析∵x>0,
B.4- C.不存在 D.
∴f(x)=4-x-=4-
2018~2019版高中数学第一章不等式和绝对值不等式1.1.3三个正数的算术_几何平均不等式试题
