天津市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试
数学试题
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共10小题）
1.已知椭圆
的左右焦点分别为、，点在椭圆上，若、、是一个直角三
角形的三个顶点，则点到轴的距离为 A. 【答案】D 【解析】 【分析】
设椭圆短轴的一个端点为
或
根据椭圆方程求得c，进而判断出令
，进而可得点P到x轴的距离．
，即得
B. 4
C.
D.
【详解】解：设椭圆短轴的一个端点为M． 由于
，；
，
只能
或
．
，
令，得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了椭圆的基本应用考查了学生推理和实际运算能力是基础题． 2.已知双曲线线A. C. 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可得渐近线的斜率，即为a，b的关系式，再根据抛物线的准线方程解得c，由a，b，
的一条渐近线过点
，且双曲线的一个焦点在抛物
的准线上，则双曲线的方程为
B. D.
c的关系，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的方程．
【详解】解：双曲线可得渐近线的斜率为双曲线的一个焦点在抛物线可得即解得
， ， ，
，
． ，
的准线
上，
的一条渐近线过点
，
则双曲线的方程为：故选：C．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，以及抛物线的方程和性质，运用渐近线方程和斜率公式是解题的关键，属于基础题． 3.设、分别为双曲线足A.
【答案】C
，且到直线
B.
的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满
的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为
C.
D.
【解析】
试题分析：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知，可知|PF1|=\
=4b根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得
2222
c=2b-a，3y=0代入c=a+b整理得3b-4ab=0，求得=∴双曲线渐进线方程为y=±x，即4x±
故选C
考点：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的运用。
点评：解决该试题的关键是利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案。 4.已知方程范围是 A. (–1,3) 【答案】A 【解析】
由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以
表示双曲线，所以
选A．
【考点】双曲线的性质
【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错. 【此处有视频，请去附件查看】
5.已知抛物线
，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于
两点，若线段
的
，解得
，解得
，因为方程
，故
B. (–1,
)
C. (0,3)
D. (0,
)
表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值
，所以的取值范围是
中点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为 A. C.
B. D.
【答案】B 【解析】
∵y2=2px的焦点坐标为
,
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴方程为x=-1.故选B.
【此处有视频，请去附件查看】
6.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 A. 108 【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，完成任务可分为两步，
、每个三口之家内部排序，
、三个家庭之间排序，
B. 216
C. 648
D. 1296
=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线
计算每一步的情况数目，由分步计数原理计数公式，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行：
、将每个三口之家都看成一个元素，每个家庭都有种排法； 三个三口之家共有
种排法，
、将三个整体元素进行排列，共有种排法 故不同的作法种数为故选：D．
【点睛】本题考查排列、组合的运用，涉及分步计数原理的应用，对于相邻问题，可用捆绑法解决.
7. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 A. 6种 【答案】C 【解析】
：甲和乙选中同一课程的选法有种，甲和乙再各选一门有和种，根据乘法原理，甲和乙完成选修课程选择有8.
种，选C.
，则
B. 12种
C. 24种
D. 30种
；
A. B. C. 64 D. 65
【答案】B 【解析】 【分析】
在所给的等式中，令结果. 【详解】解：再令
，
，
，令，
，可得
，
，求得的值，再令
，可得
的值,即得
故选：B．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过赋值法，求展开式的系数和，属于基础题． 9.已知F为抛物线
的焦点，过点F作两条互相垂直的直线与直线，直线与抛物线
的最小值为
C. 14
D. 16
交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点，则A. 10 【答案】D 【解析】 【分析】
根据抛物线焦点弦弦长公式表示【详解】解：由
B. 12
，再根据正弦函数有界性求
，
最小值．
，设直线倾斜角为，则直线倾斜角为
由焦点弦弦长公式得
所以当且仅当故选：D．
时取等号
的最小值为
．
，
【点睛】本题考查了抛物线焦点弦弦长公式，考查基本分析求解能力，属于中档题． 10.过双曲线
为虚轴上的一个端点，且A.
的焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为
B.
C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
先解得A，B的坐标，再分类讨论钝角，并运用向量数量积的坐标表示，最后解得离心率范围．
【详解】解：不妨设过双曲线
的左焦点
，
令，可得，
可得又不妨设
，，可得，
，
， ，
为钝角或
为钝角，
因为当即为化为可得又当即为化为由又
为钝角三角形，所以为钝角时可得
，
，即有，即，可得为钝角时可得
， ，
，可得，可得
．
， ， ，
， ， ，
综上可得，e的范围为故选：D．
．
【点睛】本题考查双曲线的离心率以及向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共6小题）
11.分别标有1、2、3、4的4张卡片，放入分别标号为1、2、3、4的4个盒中，每盒不空，且3号卡片不能放入3号盒中，则有______种不同的方法． 【答案】18 【解析】 【分析】
根据题意，分2步进行分析：
3号卡片可以放入1、2、4号盒子中，有3种放法；
，将
剩下的3张卡片全排列，放入剩下的3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析：
3号卡片不能放入3号盒中，则3号卡片可以放入1、2、4号盒子中，有3种放法； 将剩下的3张卡片全排列，放入剩下的3个盒子中，有故有
种不同的放法；
种放法；
故答案为：18
【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
12.从5名男医生名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男女医生都有，则不同的组队方案共有______种 数字回答． 【答案】70 【解析】 【分析】
先分两类，一类是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中再用分步计数原理解答． 【详解】解：直接法：一男两女，有两男一女，有间接法：任意选取都是女医生有故答案为：70．
【点睛】直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法，这种问题是排列组合中典型的问题，注意表示过程中数字不要弄混． 13.
展开式中的系数为10， 则实数的值为
种，共计70种 种，其中都是男医生有种，于是符合条件的有
种， 种． 种，
【答案】1
【考点定位】该题主要考查二项式定理及其性质 【解析】
【此处有视频，请去附件查看】
14.若抛物线【答案】【解析】 【分析】
根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标，对于抛物线表示其准线方程，结合题意列出方程即可得p的值，即可得答案． 【详解】解：根据题意，双曲线的方程为：则其焦点在y轴上，且则抛物线所以
，可得
．
， 焦点坐标为；
，
，
，用p
的准线经过双曲线
的一个焦点，则
______．
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查基本分析求解能力，属基础题． 15.P为双曲线
右支上的一个动点若点P到直线
的距离大于m恒成立，
则实数m的最大值为______． 【答案】【解析】 【分析】 双曲线
的渐近线方程为
，c的最大值为直线
与直线
的
距离．再根据平行线之间距离公式得结果. 【详解】解：由题意，双曲线因为由点P到直线
的最大值为直线
的渐近线方程为
的距离大于m恒成立，
与渐近线
之间的距离，即
．
，
故答案为：．
【点睛】本题考查双曲线的性质，考查两平行线之间的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题． 16.已知椭圆且
，A、B为椭圆左右顶点，F为左焦点，点P为椭圆上一点，
轴，过点A的直线与线段PF交于M点，与y轴交于E点，若直线BM经过OE中点，
则椭圆的离心率为______．
【答案】 【解析】 【分析】
由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为
，可得M，E的坐标，再由
中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，最后结合离心率公式，即可得到所求值．
【详解】解：由题意可设设直线AE的方程为令
，可得
，， ，令，
， ，可得
，
，
，
设OE的中点为H，可得由B，H，M三点共线，可得即为
，
化简可得可得
．
，即为，
故答案为：
【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件，属于中档题．
三、解答题（本大题共4小题）
17.已知F为椭圆椭圆截得的线段长为求该椭圆方程；
设直线同时与椭圆和抛物线【答案】（1）【解析】 【分析】 由
，求得
，结合
，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
的关系式，解方程组得k；（2）
各恰有一个公共交点，求直线的方程．
或
或
．
的左焦点，离心率为
，过F且垂直于x轴的直线被
将直线方程代入椭圆方程与抛物线方程，根据交点情况得和m的值，即得直线方程． 【详解】解：方程椭圆即得椭圆方程
，得
，； 由
，得中，令，
， ，可得
显然直线存在斜率， 设其方程为
，
，整理得：
由
，化简得：代入抛物线：时，
，化简得：
， ， ，得到
，
，
当当
时，
，
直线的方程为或或
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 18.过椭圆
的右焦点F作直线
交椭圆于M、N两点，H为线
段MN的中点，且OH的斜率为，设点求该椭圆的方程；
若点P是椭圆上的动点，求线段PA的中点G的轨迹方程； 过原点的直线交椭圆于B、C两点，求
面积的最大值．
【答案】（1）；（2），（3）最大值．
【解析】 【分析】
结合点差法和直线的斜率，以及OH的斜率为，可得
上，求出c，即可求出椭圆的方程；
利用转移法解得G的轨迹方程；
联立直线的方程与椭圆方程，利用弦长公式求出CB，再根据点到直线距离公式得A到CB的距离，根据三角形的面积得函数解析式，根据基本不等式求出最大值．
，再根据右焦点F在直线
【详解】解：设，则，两式相减可得，
，
即
，
直线
，，
交椭圆于M、N两点，H为线段MN的中点，且OH的斜率为，
，
右焦点F作在直线令
，可得，
，
由
，解得
， ，
；
，
，
上，
椭圆方程为
设，，则有，即，代入为中，
得，
故线段PA的中点G的轨迹方程为，
当直线BC垂直x轴时，此时当直线BC的斜率为零时，此时
，点A到直线BC的距离，点A到直线BC的距离
， ，
，则，则
， ，
当直线BC的斜率存在且不为零时，设直线BC的方程为联立方程组可得
，消y整理可得
解得，，
则，
点A到直线BC的距离，
，
，
当且仅当综上所述
时，即面积的最大值
，．
取最大值，最大值为
，
【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线和椭圆位置关系，考查弦长公式，考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用，属于中档题． 19.已知点
、
是平面上的两点，动点P满足
求点P的轨迹方程； 若【答案】（1）【解析】 【分析】
根据椭圆定义求点P的轨迹方程． 根据余弦定理以及椭圆定义求
，结合椭圆定义推导出
最后联立椭圆与双曲线方程，解得点P的坐标． 【详解】解：点
、
设动点
，
，且
．
，
，
，解得
， ，
，
，再由
，由双曲线
，得
得点P的轨迹方程，
（2）
，求点P的坐标．
，或
或
或
是平面上的两点，动点P满足
点P是以M，N为焦点的椭圆点P的轨迹方程为在
中，
由点P在以
，得、
，
为焦点的双曲线
上，
联立，
解得点P的坐标，或或或
【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查椭圆、双曲线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 20.已知椭圆C：中恰有三点在椭圆C上. （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【解析】
.
（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，
）
试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由
知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此
在
椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：
（
），将
代入
，写出判别式，利，根据
列出等
用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.
（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点. 试题解析：又由
知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此，解得.
故C的方程为.
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2， 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知（t，则
从而可设l：
（
）.将
由题设可知
.
，且，可得A，B的坐标分别为（t，），
）.
，得
，不符合题设. 代入
得
，x1x2=
.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=而
.
由题设即解得当且仅当
. 时，
）
，欲使l：
，故
.
.
，即，
所以l过定点（2，
点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.
2018-2019学年天津市第一中学高二上学期期末考试数学试卷
