第三章 统计案例
3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．下面是2×2列联表：
变量 y1 a 2 y2 21 25 46 总计 73 27 100 x1 x2 总计 则表中a，b的值分别为( ) b A．94，96 B．52，50 C．52，54 D．54，52 解析：因为a＋21＝73，所以a＝52，又a＋2＝b，所以b＝54. 答案：C
2．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是( )
A．100个心脏病患者中至少有99人打鼾 B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾 C．100个心脏病患者中一定有打鼾的人 D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有
解析：这是独立性检验，犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知答案应选D.
答案：D
3．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立性检验法抽取2 019人，计算发现
K2的观测值k≈6.723，则根据这一数据，市政府断言“市民收入与旅游欲望有关系”犯错误
的概率不超过( )
A．0.005
B．0.05 C．0.025 D．0.01
解析：因为K的观测值k≈6.723>6.635，所以断言“市民收入与旅游欲望有关系”犯错误的概率不超过0.01.
答案：D
4．在一次独立性检验中，得出列联表如下：
分类 2
A 100 90 190 A 400 总计 500 90＋a 590＋a B B 总计 a 400＋a 且最后发现，两个分类变量A和B没有任何关系，则a的可能值是( ) A．720
2
B．360 C．180 D．90
n（ad－bc）2
参考公式：K＝
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
解析：因为两个分类变量A和B没有任何关系，
（590＋a）（100a－90×400）
所以k＝<2.702，代入验证可知a＝360满足．
190×（400＋a）（90＋a）×500答案：B
5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下表的列联表：
喜好程度 爱好 不爱好 总计 2
2
男 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110 n（ad－bc）2由K＝算得，
（a＋b）（c＋b）（a＋c）（b＋d）
110×（40×30－20×20）k＝≈7.8.
60×50×60×50附表：
2
P(K2≥k0) k0 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 参照附表，得到的正确结论是( ) A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解析：由k≈7.8及P(K≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
答案：C 二、填空题
6．下列关于K的说法中，正确的有________． ①K的值越大，两个分类变量的相关性越大；
②若求出K＝4＞3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
③独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则做出拒绝H0的推断．
解析：对于①，K的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能判断相关性大小，故①错误；根据独立性检验的概念和临界值表知②③正确．
答案： ②③
7．某部门通过随机调查89名工作人员的休闲方式，了解读书和健身的人数，得到的数据如表：
分类 女 男 总计 读书 24 8 32 健身 31 26 57 总计 55 34 89 2
2
2
2
2
在犯错误的概率不超过________的前提下认为性别与休闲方式有关系．
n（ad－bc）2
参考公式：K＝
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
2
解析：由列联表中的数据，得K的观测值为 89×（24×26－31×8）k＝≈3.689>2.706，
55×34×32×57
因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与休闲方式有关系． 答案：0.10
8. 某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．
解析：先作出如下糖尿病患者与遗传列联表(单位：人)：
2
2
家族 阳性家族史 阴性家族史 总计 2
糖尿病发病 16 17 33 糖尿病不发病 93 240 333 总计 109 257 366 2366×（16×240－17×93）根据列联表中的数据，得到K的观测值为k＝≈6.067＞
109×257×33×3335.024.故我们有97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．
答案：97.5% 三、解答题
9．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别 是否需要志愿者 需要 不需要 男 40 160 女 30 270 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需70
要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.
500
(2)由表中数据，得K的观测值为 500×（40×270－30×160）k＝≈9.967.
70×430×200×300
因为9.967＞6.635，所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
10．某校推广新课改，在两个程度接近的班进行试验，一班为新课改班级，二班为非课改班级，经过一个学期的教学后对期末考试进行分析评价，规定：总分超过550(或等于550分)为优秀，550以下为非优秀，得到以下列联表：
分类 一班 优秀 35 非优秀 13 总计 2
2
二班 总计 (1)请完成列联表； 17 25 (2)根据列联表的数据，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系？
参考数据：
P(K2≥k0) k0 2
0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 n（ad－bc）2K＝
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
解：(1)2×2的列联表如下：
分类 一班 二班 总计 优秀 35 17 52 2
非优秀 13 25 38 总计 48 42 90 2
90×（35×25－13×17）
(2)根据列联表中的数据，得到K的观测值k＝≈9.66>7.879，
48×42×52×38则说明能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系．
B级 能力提升
1．有两个分类变量x，y，其2×2列联表如下表．其中a，15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“x与y之间有关系”，则a的取值应为( )
变量 y1 a 15－a B. 6或7 D．8或9
y2 20－a 30＋a x1 x2 A.5或6 C．7 或8
解析：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为K之间有关系，则
2
K＞2.706，而
2
2
65[a（30＋a）－（20－a）（15－a）]13（65a－300）K＝＝＝
20×45×15×5060×45×50
2
22
13（13a－60）2
，要使K＞2.706得a＞7.19或a＜2.04.又因为a＞5且15－a＞5，a∈Z，所
60
2024秋高中数学第三章统计案例3.2独立性检验的基本思想及其初步应用达标练习解析人教A版选修2_3
