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1.2 导数的运算
1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 2．熟练运用导数的运算法则．
3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数．
1．基本初等函数的导数公式表 y＝f(x) y＝c y＝xn(n∈N＋) y＝xμ(x＞0，μ≠0且μ∈Q) y＝ax(a＞0，a≠1) y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0) y＝sin x y＝cos x y′＝f′(x) y′＝0 y′＝______，n为正整数 y′＝μxμ－1，μ为有理数 y′＝______ y′＝______ y′＝______ y′＝______
(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求． (2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．
13133
【做一做1－1】给出下列结论：①若y＝3，则y′＝－4；②若y＝x，则y′＝x；
xx3
1－3
③若y＝2，则y′＝－2x；④若y＝f(x)＝3x，则f′(1)＝3；⑤若y＝cos x，则y′＝
xsin x；⑥若y＝sin x，则y′＝cos x．其中正确的个数是( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
【做一做1－2】下列结论中正确的是( )．
aln 10
A．(logax)′＝ B．(logax)′＝
xxC．(5)′＝5x D．(5)′＝5ln 5 2．导数的四则运算法则
(1)函数和(或差)的求导法则：
设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))′＝__________，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的____________．
(2)函数积的求导法则：
设f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)g(x)]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．
由上述法则立即可以得出[Cf(x)]′＝Cf′(x)，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．
(3)函数的商的求导法则：
?f(x)?′＝________________.
设f(x)，g(x)是可导的，g(x)≠0，则???g(x)?
(1)比较：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，?
xxx?f(x)?′＝
??g(x)?
金戈铁骑
g(x)f′(x)－f(x)g′(x)
，注意差异，加以区分．
g2(x)
f(x)f′(x)?f(x)?′≠g(x)f′(x)＋f(x)g′(x). (2)≠，且??g(x)g′(x)g2(x)?g(x)?
(3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则． (4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． 若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．
11
例如，设f(x)＝sin x＋，g(x)＝cos x－，则f(x)，g(x)在x＝0处均不可导，但它
xx们的和f(x)＋g(x)＝sin x＋cos x在x＝0处可导． 【做一做2】下列求导运算正确的是( )．
1?1?A．?x＋?′＝1＋2 ?x?
x1 xln 2
xxC．(3)′＝3·log3e
2
D．(xcos x)′＝－2xsin x 3．复合函数的求导法则
对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这
2
个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f[g(x)]．如函数y＝(2x＋3)是由y＝u2和u＝2x＋3复合而成的．
复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y′x＝y′u·u′x.
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
B．(log2x)′＝
对于复合函数的求导应注意以下几点：
(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．
(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x)′＝2cos 2x，而(sin 2x)′≠cos 2x.
(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变
π?π?量转换成自变量的函数．如求y＝sin?2x＋?的导数，设y＝sin u，u＝2x＋，则y′x3?3?π??＝y′u·u′x＝cos u·2＝2cos?2x＋?. 3??
(4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写． 【做一做3】函数y＝ln(2x＋3)的导数为________．
1．如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？
剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数．
2．导数公式表中y′表示什么？
剖析：y′是f′(x)的另一种写法，两者都表示函数y＝f(x)的导数． 3．如何理解y＝C(C是常数)，y′＝0；y＝x，y′＝1?
剖析：因为y＝C的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为y＝x的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1.
金戈铁骑
题型一 利用公式求函数的导数 【例题1】求下列函数的导数： 153
(1)y＝xx；(2)y＝4；(3)y＝x；
x(4)y＝log2x－log2x；(5)y＝－2sin(1－2cos)．
24
分析：熟练掌握常用函数的求导公式．运用有关的性质或公式将问题转化为基本初等函数后再求导数．
反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导． 题型二 利用四则运算法则求导 【例题2】求下列函数的导数：
42
(1)y＝x－3x－5x＋6； (2)y＝x·tan x；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
x－1(4)y＝.
x＋1分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，然后进行求导．
反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．
题型三 求复合函数的导数 【例题3】求下列函数的导数：
n(1)y＝(2x＋1)(x∈N＋)；
(2)y＝?
2
x2
x?x?5；
??1＋x?
3
(3)y＝sin(4x＋3)；
2
(4)y＝xcos x. 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．
反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量．易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导．复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环．
题型四 易错辨析易错点：
常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错．牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键．
1x－x【例题4】求函数y＝(e＋e)的导数．
2
1x－x1x1x?1x－x?－x－x错解：y′＝?(e＋e)?′＝(e＋e)′＝[(e)′＋(e)′]＝(e＋e)．
222?2?
1下列各组函数中导数相同的是( )． A．f(x)＝1与f(x)＝x
B．f(x)＝sin x与f(x)＝cos x
C．f(x)＝1－cos x与f(x)＝－sin x D．f(x)＝x－1与f(x)＝x＋1
32
2已知函数f(x)＝ax＋3x＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为( )．
金戈铁骑
19101316A． B． C． D．
3333
cos x3函数y＝的导数是( )．
xsin xA．－2 B．－sin x
xxsin x＋cos xxcos x＋cos x D．－ 2
xx2
4设y＝1＋a＋1－x(a是常数)，则y′等于( )．
C．－111A．＋ B． 21＋a21－x21－x11－1C．－ D． 21＋a21－x21－x2
5已知抛物线y＝ax＋bx－5(a≠0)，在点(2,1)处的切线方程为y＝－3x＋7，则a＝________，b＝________.
答案：
基础知识·梳理
1．nxn－1
aln a
x1
cos x －sin x xln a【做一做1－1】B 由求导公式可知，①③④⑥正确． 【做一做1－2】D
2．(1)f′(x)±g′(x) 导数和(或差) (2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 函数的导数 (3)
fxgx－fxgg2xx
?1?－1－2
【做一做2】B 由求导公式知，B选项正确.?x＋?′＝x′＋(x)′＝1－x＝1－
?
x?
1
x2.(3)′＝3ln 3，(xcos x)′＝(x)′cos x＋x(cos x)′＝2xcos x－xsin x. 2
【做一做3】y′＝ 函数y＝ln(2x＋3)可看作函数y＝ln u和u＝2x＋3的复合
2x＋3
xx2222
12
函数，于是y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(2x＋3)′＝×2＝. u2x＋3
典型例题·领悟
333?3?【例题1】解：(1)y′＝(xx)′＝?x?′＝x－1＝x. 222?2?4?1?－4－4－1－5
(2)y′＝?4?′＝(x)′＝－4x＝－4x＝－5. ?x?
x3332353?3?(3)y′＝(x)′＝?x?′＝x－1＝x－＝. 5555?5?52
5x(4)∵y＝log2x－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝2
1
. xln 2
????(5)∵y＝－2sin?1－2cos ?＝2sin?2cos －1?＝2sincos＝sin x，
4?4?2?2?22
2
2
xxxxxx∴y′＝cos x.
42
【例题2】解：(1)y′＝(x－3x－5x＋6)′
金戈铁骑
＝(x)′－3(x)′－5x′－6′＝4x－6x－5. (2)y′＝
(x·tan
423
x)′＝
?x·sin x??cos x???
′＝
x·sin x′·cos x－x·sin xcos x′
2
cosx＝
sin x＋x·cos x·cos x＋x·sinx 2
cosx2
122sin 2x＋xcosx＋xsinx22
sin x·cos x＋x·cosx＋x·sinx2sin 2x＋2x＝＝＝. 222cosxcosx2cosx(3)方法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
2
＝3x＋12x＋11.
32
方法2：y＝x＋6x＋11x＋6， y′＝3x2＋12x＋11.
?x－1?′＝x－1′x＋1－x－1
(4)方法1：y′＝??x＋12?x＋1?
x＋1′
＝
x＋1－x－12
＝2
x＋1x＋1
方法2：y＝1－
2
， x＋1
2
. x＋1－2x＋1′2
＝. 2
x＋1x＋12
nn－1n－1
【例题3】解：(1)y′＝[(2x＋1)]′＝n(2x＋1)·(2x＋1)′＝2n(2x＋1).
4
x?5?x?4?x?5x???(2)y′＝????′＝5·?1＋x?·?1＋x?′＝x＋16. ??1＋x??????
3
(3)y′＝[sin(4x＋3)]′
2
＝3sin(4x＋3)[sin(4x＋3)]′
2
＝3sin(4x＋3)·cos(4x＋3)·(4x＋3)′
2
＝12sin(4x＋3)cos(4x＋3)．
222
(4)y′＝(xcos x)′＝x′·cos x＋(cos x)′·x
222
＝cos x－2xsin x.
－x－xu【例题4】错因分析：y＝e的求导错误，y＝e由y＝e与u＝－x复合而成，因此其y′＝?1－?′＝?－x＋1?′＝－
?x＋1???
?
2??
2?2′
导数应按复合函数的求导法则进行．
u－xu－x正解：令y＝e，u＝－x，则y′x＝y′u·u′x，所以(e)′＝(e)′(－x)′＝e×(－1)＝－e，所以y′＝?随堂练习·巩固 1．D
102
2．B f′(x)＝3ax＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.
3
－x?1?2
x＋e
－x?′＝1[(ex)′＋(e－x)′]＝1(ex－e－x)． ?22?
金戈铁骑
高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算学案新人教B版选修2-2
